Theorem rintopn 19213

Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
rintopn	|- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^| A ) e. J )

Proof of Theorem rintopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 4379	. . 3 |- |^| A = |^|_ x e. A x
2	1	ineq2i 3697	. 2 |- ( X i^i |^| A ) = ( X i^i |^|_ x e. A x )
3		dfss3 3494	. . 3 |- ( A C_ J <-> A. x e. A x e. J )
4		1open.1	. . . . 5 |- X = U. J
5	4	riinopn 19212	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A x e. J ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
6	5	3com23 1202	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A x e. J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
7	3, 6	syl3an2b 1265	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
8	2, 7	syl5eqel 2559	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^| A ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   i^i cin 3475   C_ wss 3476   U.cuni 4245   |^|cint 4282   |^|_ciin 4326   Fincfn 7516   Topctop 19189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-top 19194

This theorem is referenced by:  ptcnplem  19885  tmdgsum2  20358  limciun  22061