Theorem rintopn 19870

Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
rintopn	|- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^| A ) e. J )

Proof of Theorem rintopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 4356	. . 3 |- |^| A = |^|_ x e. A x
2	1	ineq2i 3667	. 2 |- ( X i^i |^| A ) = ( X i^i |^|_ x e. A x )
3		dfss3 3460	. . 3 |- ( A C_ J <-> A. x e. A x e. J )
4		1open.1	. . . . 5 |- X = U. J
5	4	riinopn 19869	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A x e. J ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
6	5	3com23 1211	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A x e. J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
7	3, 6	syl3an2b 1301	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
8	2, 7	syl5eqel 2521	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^| A ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   i^i cin 3441   C_ wss 3442   U.cuni 4222   |^|cint 4258   |^|_ciin 4303   Fincfn 7577   Topctop 19848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-fin 7581  df-top 19852

This theorem is referenced by:  ptcnplem  20567  tmdgsum2  21042  limciun  22726