Theorem rintopn 19937

Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
rintopn	|- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^| A ) e. J )

Proof of Theorem rintopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 4353	. . 3 |- |^| A = |^|_ x e. A x
2	1	ineq2i 3661	. 2 |- ( X i^i |^| A ) = ( X i^i |^|_ x e. A x )
3		dfss3 3454	. . 3 |- ( A C_ J <-> A. x e. A x e. J )
4		1open.1	. . . . 5 |- X = U. J
5	4	riinopn 19936	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A x e. J ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
6	5	3com23 1211	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A x e. J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
7	3, 6	syl3an2b 1301	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
8	2, 7	syl5eqel 2511	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^| A ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2771   i^i cin 3435   C_ wss 3436   U.cuni 4219   |^|cint 4255   |^|_ciin 4300   Fincfn 7580   Topctop 19915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-fin 7584  df-top 19919

This theorem is referenced by:  ptcnplem  20634  tmdgsum2  21109  limciun  22847