Theorem rintopn 20016

Description: A finite relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
rintopn	|- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^| A ) e. J )

Proof of Theorem rintopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 4323	. . 3 |- |^| A = |^|_ x e. A x
2	1	ineq2i 3622	. 2 |- ( X i^i |^| A ) = ( X i^i |^|_ x e. A x )
3		dfss3 3408	. . 3 |- ( A C_ J <-> A. x e. A x e. J )
4		1open.1	. . . . 5 |- X = U. J
5	4	riinopn 20015	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A x e. J ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
6	5	3com23 1237	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A x e. J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
7	3, 6	syl3an2b 1329	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^|_ x e. A x ) e. J )
8	2, 7	syl5eqel 2553	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J /\ A e. Fin ) -> ( X i^i |^| A ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   i^i cin 3389   C_ wss 3390   U.cuni 4190   |^|cint 4226   |^|_ciin 4270   Fincfn 7587   Topctop 19994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-top 19998

This theorem is referenced by:  ptcnplem  20713  tmdgsum2  21189  limciun  22928