MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringrz Structured version   Unicode version

Theorem ringrz 17431
Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
rngz.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngz.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngz.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
ringrz  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem ringrz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 17398 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 rngz.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rngz.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3grpidcl 16277 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
5 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
62, 5, 3grplid 16279 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  R )  .0.  )  =  .0.  )
74, 6mpdan 666 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Grp  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
98adantr 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
109oveq2d 6286 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  (  .0.  ( +g  `  R )  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
11 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
121, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
1312adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
1411, 13, 133jca 1174 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  .0.  e.  B  /\  .0.  e.  B ) )
15 rngz.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
162, 5, 15ringdi 17412 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  .0.  e.  B  /\  .0.  e.  B ) )  -> 
( X  .x.  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  ) )  =  ( ( X 
.x.  .0.  ) ( +g  `  R ) ( X  .x.  .0.  )
) )
1714, 16syldan 468 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  (  .0.  ( +g  `  R )  .0.  ) )  =  ( ( X  .x.  .0.  ) ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) ) )
181adantr 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
192, 15ringcl 17407 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )
2013, 19mpd3an3 1323 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )
212, 5, 3grplid 16279 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
2221eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X 
.x.  .0.  ) )
)
2318, 20, 22syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X 
.x.  .0.  ) )
)
2410, 17, 233eqtr3d 2503 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  .x.  .0.  ) ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) ) )
252, 5grprcan 16282 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .x.  .0.  )  e.  B  /\  .0.  e.  B  /\  ( X  .x.  .0.  )  e.  B ) )  -> 
( ( ( X 
.x.  .0.  ) ( +g  `  R ) ( X  .x.  .0.  )
)  =  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  <->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
2618, 20, 13, 20, 25syl13anc 1228 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( X  .x.  .0.  ) ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  <->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
2724, 26mpbid 210 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   .rcmulr 14785   0gc0g 14929   Grpcgrp 16252   Ringcrg 17393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-mgp 17337  df-ring 17395
This theorem is referenced by:  ringsrg  17432  rngnegr  17436  gsummgp0  17451  gsumdixpOLD  17452  gsumdixp  17453  dvdsr02  17500  isdrng2  17601  drngmul0or  17612  cntzsubr  17656  isabvd  17664  lmodvs0  17741  rrgeq0  18133  unitrrg  18137  domneq0  18141  psrridm  18253  psrridmOLD  18254  mpllsslem  18289  mpllsslemOLD  18291  mplsubrglem  18295  mplsubrglemOLD  18296  mplcoe1  18322  mplmon2  18353  evlslem4OLD  18368  evlslem4  18369  coe1tmmul2  18512  cply1mul  18530  ocvlss  18876  frlmphl  18983  uvcresum  18995  mamurid  19111  matsc  19119  dmatmul  19166  dmatscmcl  19172  scmatscmide  19176  mulmarep1el  19241  mdetdiaglem  19267  mdetero  19279  mdetunilem8  19288  mdetunilem9  19289  mdetuni0  19290  maducoeval2  19309  madugsum  19312  smadiadetlem1a  19332  smadiadetglem2  19341  chpdmatlem2  19507  chfacfpmmul0  19530  cayhamlem4  19556  mdegvscale  22641  mdegmullem  22644  coe1mul3  22666  deg1mul3le  22683  ply1divex  22703  ply1rem  22730  fta1blem  22735  kerunit  28048  cntzsdrg  31392  mgpsumz  33206  domnmsuppn0  33216  rmsuppss  33217  ply1mulgsumlem2  33241  lincresunit2  33333  lfl0f  35191  lfl0sc  35204  lkrlss  35217  lcfrlem33  37699  hdmapinvlem3  38047  hdmapglem7b  38055
  Copyright terms: Public domain W3C validator