MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringidcl Structured version   Unicode version

Theorem ringidcl 17537
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
ringidcl.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
ringidcl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem ringidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21ringmgp 17522 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 ringidcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 17465 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 ringidcl.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
61, 5ringidval 17473 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndidcl 16260 . 2  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  ->  .1.  e.  B )
82, 7syl 17 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568   Basecbs 14839   Mndcmnd 16241  mulGrpcmgp 17459   1rcur 17471   Ringcrg 17516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518
This theorem is referenced by:  ringcom  17545  ringnegl  17558  rngnegr  17559  ringmneg1  17560  ringmneg2  17561  imasring  17586  opprring  17598  dvdsrid  17618  dvdsrneg  17621  1unit  17625  ringinvdv  17661  isdrng2  17724  isdrngd  17739  subrgid  17749  abv1z  17799  abvneg  17801  srng1  17826  issrngd  17828  lmod1cl  17857  lmodvsneg  17872  lmodsubvs  17884  lmodsubdi  17885  lmodsubdir  17886  lmodprop2d  17890  lssvnegcl  17920  prdslmodd  17933  lmodvsinv  18000  islmhm2  18002  lbsind2  18045  lspsneq  18086  lspexch  18093  lidl1el  18184  rsp1  18190  lpi1  18214  isnzr2  18229  isnzr2hash  18230  0ring01eq  18237  fidomndrnglem  18273  asclf  18304  asclghm  18305  asclmul1  18306  asclmul2  18307  asclrhm  18309  rnascl  18310  assamulgscmlem1  18315  psrlmod  18372  psr1cl  18373  mvrf  18398  mplsubrg  18420  mplmon  18443  mplmonmul  18444  mplcoe1  18445  mplind  18485  evlslem1  18502  coe1pwmul  18638  ply1scl0  18649  ply1scl1  18651  ply1idvr1  18652  lply1binomsc  18667  mulgrhm  18833  chrcl  18861  chrid  18862  chrdvds  18863  chrcong  18864  zncyg  18883  zrhpsgnelbas  18926  uvcvvcl2  19113  uvcff  19116  lindfind2  19143  mamumat1cl  19231  mat1bas  19241  matsc  19242  mat0dimid  19260  mat1mhm  19276  dmatid  19287  scmatscmide  19299  scmatscmiddistr  19300  scmatmats  19303  scmatscm  19305  scmatid  19306  scmataddcl  19308  scmatsubcl  19309  scmatmulcl  19310  smatvscl  19316  scmatrhmcl  19320  scmatf1  19323  scmatmhm  19326  mat0scmat  19330  mat1scmat  19331  mdet0pr  19384  mdet1  19393  mdetunilem8  19411  mdetunilem9  19412  mdetuni0  19413  mdetmul  19415  m2detleiblem5  19417  m2detleiblem6  19418  maducoeval2  19432  maduf  19433  madutpos  19434  madugsum  19435  madulid  19437  minmar1marrep  19442  minmar1cl  19443  marep01ma  19452  smadiadetglem1  19463  smadiadetglem2  19464  matinv  19469  1pmatscmul  19493  1elcpmat  19506  mat2pmat1  19523  decpmatid  19561  idpm2idmp  19592  chmatcl  19619  chmatval  19620  chpmat1dlem  19626  chpmat1d  19627  chpdmatlem0  19628  chpdmatlem2  19630  chpdmatlem3  19631  chpidmat  19638  chmaidscmat  19639  cpmidgsumm2pm  19660  cpmidpmatlem2  19662  cpmidpmatlem3  19663  cpmadugsumlemB  19665  cpmadugsumfi  19668  cpmidgsum2  19670  chcoeffeqlem  19676  tlmtgp  20988  nrginvrcnlem  21489  cvsmuleqdivd  21901  cphsubrglem  21914  deg1pwle  22810  deg1pw  22811  ply1nz  22812  ply1remlem  22853  dchrmulcl  23903  dchrinv  23915  dchrhash  23925  lgsqrlem1  23995  lgsqrlem2  23996  lgsqrlem3  23997  lgsqrlem4  23998  orng0le1  28241  ofldchr  28243  suborng  28244  isarchiofld  28246  elrhmunit  28249  zrhnm  28388  zrhchr  28395  qqh1  28404  qqhucn  28411  lflsub  32065  eqlkr  32097  eqlkr3  32099  lduallmodlem  32150  ldualvsubcl  32154  ldualvsubval  32155  dochfl1  34476  lcfrlem2  34543  lcdvsubval  34618  mapdpglem30  34702  hgmapval1  34896  hdmapglem5  34925  mendlmod  35486  idomodle  35497  isdomn3  35508  mon1pid  35509  mon1psubm  35510  deg1mhm  35511  lidldomn1  38219  mgpsumn  38445  ascl0  38469  ascl1  38470  ply1sclrmsm  38475  coe1id  38476  evl1at1  38484  linc0scn0  38516  linc1  38518  islindeps2  38576  lmod1lem5  38584
  Copyright terms: Public domain W3C validator