MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringidcl Structured version   Unicode version

Theorem ringidcl 17198
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
ringidcl.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
ringidcl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem ringidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21ringmgp 17183 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 ringidcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 17126 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 ringidcl.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
61, 5ringidval 17134 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndidcl 15917 . 2  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  ->  .1.  e.  B )
82, 7syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578   Basecbs 14614   Mndcmnd 15898  mulGrpcmgp 17120   1rcur 17132   Ringcrg 17177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-plusg 14692  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179
This theorem is referenced by:  ringcom  17206  ringnegl  17219  rngnegr  17220  ringmneg1  17221  ringmneg2  17222  imasring  17247  opprring  17259  dvdsrid  17279  dvdsrneg  17282  1unit  17286  ringinvdv  17322  isdrng2  17385  isdrngd  17400  subrgid  17410  abv1z  17460  abvneg  17462  srng1  17487  issrngd  17489  lmod1cl  17518  lmodvsneg  17533  lmodsubvs  17545  lmodsubdi  17546  lmodsubdir  17547  lmodprop2d  17551  lssvnegcl  17581  prdslmodd  17594  lmodvsinv  17661  islmhm2  17663  lbsind2  17706  lspsneq  17747  lspexch  17754  lidl1el  17845  rsp1  17851  lpi1  17875  isnzr2  17890  isnzr2hash  17891  0ring01eq  17898  fidomndrnglem  17934  asclf  17965  asclghm  17966  asclmul1  17967  asclmul2  17968  asclrhm  17970  rnascl  17971  assamulgscmlem1  17976  psrlmod  18033  psr1cl  18034  mvrf  18059  mplsubrg  18081  mplmon  18104  mplmonmul  18105  mplcoe1  18106  mplind  18146  evlslem1  18163  coe1pwmul  18299  ply1scl0  18310  ply1scl1  18312  ply1idvr1  18313  lply1binomsc  18328  mulgrhm  18510  mulgrhmOLD  18513  chrcl  18541  chrid  18542  chrdvds  18543  chrcong  18544  zncyg  18565  zrhpsgnelbas  18608  uvcvvcl2  18797  uvcff  18800  lindfind2  18831  mamumat1cl  18919  mat1bas  18929  matsc  18930  mat0dimid  18948  mat1mhm  18964  dmatid  18975  scmatscmide  18987  scmatscmiddistr  18988  scmatmats  18991  scmatscm  18993  scmatid  18994  scmataddcl  18996  scmatsubcl  18997  scmatmulcl  18998  smatvscl  19004  scmatrhmcl  19008  scmatf1  19011  scmatmhm  19014  mat0scmat  19018  mat1scmat  19019  mdet0pr  19072  mdet1  19081  mdetunilem8  19099  mdetunilem9  19100  mdetuni0  19101  mdetmul  19103  m2detleiblem5  19105  m2detleiblem6  19106  maducoeval2  19120  maduf  19121  madutpos  19122  madugsum  19123  madulid  19125  minmar1marrep  19130  minmar1cl  19131  marep01ma  19140  smadiadetglem1  19151  smadiadetglem2  19152  matinv  19157  1pmatscmul  19181  1elcpmat  19194  mat2pmat1  19211  decpmatid  19249  idpm2idmp  19280  chmatcl  19307  chmatval  19308  chpmat1dlem  19314  chpmat1d  19315  chpdmatlem0  19316  chpdmatlem2  19318  chpdmatlem3  19319  chpidmat  19326  chmaidscmat  19327  cpmidgsumm2pm  19348  cpmidpmatlem2  19350  cpmidpmatlem3  19351  cpmadugsumlemB  19353  cpmadugsumfi  19356  cpmidgsum2  19358  chcoeffeqlem  19364  tlmtgp  20676  nrginvrcnlem  21177  cvsmuleqdivd  21589  cphsubrglem  21602  deg1pwle  22498  deg1pw  22499  ply1nz  22500  ply1remlem  22541  dchrmulcl  23502  dchrinv  23514  dchrhash  23524  lgsqrlem1  23594  lgsqrlem2  23595  lgsqrlem3  23596  lgsqrlem4  23597  orng0le1  27780  ofldchr  27782  suborng  27783  isarchiofld  27785  elrhmunit  27788  zrhnm  27928  zrhchr  27935  qqh1  27944  qqhucn  27951  mendlmod  31118  idomodle  31129  isdomn3  31140  mon1pid  31141  mon1psubm  31142  deg1mhm  31143  lidldomn1  32554  mgpsumn  32821  ascl0  32847  ascl1  32848  ply1sclrmsm  32853  coe1id  32854  evl1at1  32862  linc0scn0  32894  linc1  32896  islindeps2  32954  lmod1lem5  32962  lflsub  34667  eqlkr  34699  eqlkr3  34701  lduallmodlem  34752  ldualvsubcl  34756  ldualvsubval  34757  dochfl1  37078  lcfrlem2  37145  lcdvsubval  37220  mapdpglem30  37304  hgmapval1  37498  hdmapglem5  37527
  Copyright terms: Public domain W3C validator