Theorem ringgrp 9476

Description: A ring's addition operation is a group operation. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringgrp.1	|- G = (1st` R)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	|- (R e. Ring -> G e. Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp.1	. . 3 |- G = (1st` R)
2	1	ringabl 9475	. 2 |- (R e. Ring -> G e. Abel)
3		ablgrp 9410	. 2 |- (G e. Abel -> G e. Grp)
4	2, 3	syl 12	1 |- (R e. Ring -> G e. Grp)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  1stc1st 5018  Grpcgr 9311  Abelcabl 9407  Ringcring 9463

This theorem is referenced by:  ringgcl 9477  ringaass 9479  ringrcan 9482  ringlcan 9483  ring0cl 9484  ring0rid 9485  ring0lid 9486  ringlz 9487  ringrz 9488  rngn0 10400  rnplrnml0 10402  rnplrnml2 10403  on1el3 10412  rnplrnml3 14768  multinv 14771  multinvb 14772  mult2inv 14773  mulinvsca 14823  muldisc 14824  svli2 14826  ringnegcl 16098  ringaddneg1 16099  ringaddneg2 16100  ringsub 16101  ringnegmn1l 16102  ringnegmn1r 16103  rnggrphom 16125  rnghom0 16126  rnghomsub 16127  rngkerinj 16129  keridl 16180  dmncan1 16224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-abl 9408  df-ring 9464

Copyright terms: Public domain