MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcmn Structured version   Unicode version

Theorem ringcmn 17207
Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ringcmn  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)

Proof of Theorem ringcmn
StepHypRef Expression
1 ringabl 17206 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
2 ablcmn 16782 . 2  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. CMnd
)
31, 2syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804  CMndccmn 16776   Abelcabl 16777   Ringcrg 17176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178
This theorem is referenced by:  ringsrg  17215  gsummulc1  17230  gsummulc2  17231  gsummulc1OLD  17232  gsummulc2OLD  17233  gsumdixpOLD  17235  gsumdixp  17236  psrmulcllem  18018  psrlidm  18034  psrlidmOLD  18035  psrridm  18036  psrridmOLD  18037  psrass1  18038  psrdi  18039  psrdir  18040  psrcom  18042  mplmonmul  18104  mplcoe1  18105  evlslem2  18158  evlslem1  18162  psropprmul  18257  coe1mul2  18288  coe1fzgsumdlem  18321  gsumsmonply1  18323  gsummoncoe1  18324  lply1binom  18326  evls1gsumadd  18339  evl1gsumdlem  18370  gsumfsum  18462  nn0srg  18464  rge0srg  18465  regsumsupp  18635  ip2di  18653  frlmphl  18789  mamucl  18880  mamuass  18881  mamudi  18882  mamudir  18883  mat1dimmul  18955  dmatmul  18976  mavmulcl  19026  mavmulass  19028  mdetleib2  19067  mdetf  19074  mdetrlin  19081  mdetralt  19087  m2detleib  19110  madugsum  19122  smadiadetlem3lem2  19146  smadiadet  19149  mat2pmatmul  19209  m2pmfzgsumcl  19226  decpmatmul  19250  pmatcollpw1  19254  pmatcollpwfi  19260  pmatcollpw3fi1lem1  19264  pm2mpcl  19275  mply1topmatcl  19283  mp2pm2mplem2  19285  mp2pm2mplem4  19287  mp2pm2mp  19289  pm2mpghm  19294  pm2mpmhmlem2  19297  pm2mp  19303  chfacfscmulgsum  19338  chfacfpmmulgsum  19342  cpmadugsumlemF  19354  cpmadugsumfi  19355  cayhamlem4  19366  tdeglem1  22433  tdeglem3  22434  tdeglem4  22435  plypf1  22586  taylfvallem  22729  taylf  22732  tayl0  22733  taylpfval  22736  jensenlem1  23292  jensenlem2  23293  jensen  23294  amgm  23296  ofldchr  27781  ply1mulgsum  32725  lfladdcl  34536
  Copyright terms: Public domain W3C validator