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Theorem ringcinv 40021
Description: An inverse in the category of unital rings is the converse operation. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcsect.c  |-  C  =  (RingCat `  U )
ringcsect.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
ringcsect.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
ringcsect.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ringcsect.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
ringcinv.n  |-  N  =  (Inv `  C )
Assertion
Ref Expression
ringcinv  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )

Proof of Theorem ringcinv
StepHypRef Expression
1 ringcsect.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 ringcinv.n . . 3  |-  N  =  (Inv `  C )
3 ringcsect.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 ringcsect.c . . . . 5  |-  C  =  (RingCat `  U )
54ringccat 40013 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
63, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
7 ringcsect.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 ringcsect.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
9 eqid 2450 . . 3  |-  (Sect `  C )  =  (Sect `  C )
101, 2, 6, 7, 8, 9isinv 15658 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F ) ) )
11 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
124, 1, 3, 7, 8, 11, 9ringcsect 40020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  <->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
13 df-3an 986 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) )
1412, 13syl6bb 265 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  <->  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
15 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
164, 1, 3, 8, 7, 15, 9ringcsect 40020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G ( Y (Sect `  C ) X ) F  <->  ( G  e.  ( Y RingHom  X )  /\  F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
17 3ancoma 991 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( Y RingHom  X )  /\  F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
18 df-3an 986 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
1917, 18bitri 253 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( Y RingHom  X )  /\  F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
2016, 19syl6bb 265 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( Y (Sect `  C ) X ) F  <->  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
2114, 20anbi12d 716 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( X (Sect `  C
) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F )  <-> 
( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y
)  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y
)  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) ) )
22 anandi 836 . . 3  |-  ( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
2321, 22syl6bb 265 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( X (Sect `  C
) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F )  <-> 
( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) ) )
24 simplrl 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y
)  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( X RingHom  Y ) )
2524adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  F  e.  ( X RingHom  Y ) )
2611, 15rhmf 17947 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( X RingHom  Y
)  ->  F :
( Base `  X ) --> ( Base `  Y )
)
2715, 11rhmf 17947 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( Y RingHom  X
)  ->  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)
2826, 27anim12i 569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  ->  ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
) )
2928ad2antlr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y
)  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
) )
30 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )
3130adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y
)  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
32 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  ->  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
3332ad2antrl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y
)  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
3429, 31, 33jca32 538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y
)  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
3534adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
36 fcof1o 6192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : (
Base `  X ) --> ( Base `  Y )  /\  G : ( Base `  Y ) --> ( Base `  X ) )  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )  ->  ( F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  `' F  =  G
) )
37 eqcom 2457 . . . . . . . 8  |-  ( `' F  =  G  <->  G  =  `' F )
3837anbi2i 699 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  /\  `' F  =  G )  <->  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F ) )
3936, 38sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : (
Base `  X ) --> ( Base `  Y )  /\  G : ( Base `  Y ) --> ( Base `  X ) )  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )  ->  ( F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F
) )
4035, 39syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F ) )
41 anass 654 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
)  /\  G  =  `' F )  <->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  ( F : (
Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F
) ) )
4225, 40, 41sylanbrc 669 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) )
4311, 15isrim 17954 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  <->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) ) )
447, 8, 43syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  <->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) ) )
4544anbi1d 710 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F )  <->  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) ) )
4645adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F )  <->  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) ) )
4742, 46mpbird 236 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )
4811, 15rimrhm 17956 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X RingIso  Y
)  ->  F  e.  ( X RingHom  Y ) )
4948ad2antrl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  F  e.  ( X RingHom  Y ) )
50 isrim0 17944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  <->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RingHom  X ) ) ) )
517, 8, 50syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  <->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RingHom  X ) ) ) )
52 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F  =  G  -> 
( `' F  e.  ( Y RingHom  X )  <->  G  e.  ( Y RingHom  X
) ) )
5352eqcoms 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  =  `' F  -> 
( `' F  e.  ( Y RingHom  X )  <->  G  e.  ( Y RingHom  X
) ) )
5453anbi2d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  `' F  -> 
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RingHom  X ) )  <->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) ) )
5551, 54sylan9bbr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  <->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) ) )
56 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  ->  G  e.  ( Y RingHom  X ) )
5755, 56syl6bi 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  ->  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )
5857com12 32 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( X RingIso  Y
)  ->  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  G  e.  ( Y RingHom  X )
) )
5958expdimp 439 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F )  ->  ( ph  ->  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )
6059impcom 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  G  e.  ( Y RingHom  X ) )
61 coeq1 4991 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( G  o.  F
)  =  ( `' F  o.  F ) )
6261ad2antll 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  o.  F
)  =  ( `' F  o.  F ) )
6311, 15rimf1o 17955 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( X RingIso  Y
)  ->  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )
6463ad2antrl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
)
65 f1ococnv1 5840 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
6664, 65syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
6762, 66eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )
6849, 60, 67jca31 537 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )
6951biimpcd 228 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( X RingIso  Y
)  ->  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RingHom  X ) ) ) )
7069adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F )  ->  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RingHom  X ) ) ) )
7170impcom 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RingHom  X ) ) )
72 eleq1 2516 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( G  e.  ( Y RingHom  X )  <->  `' F  e.  ( Y RingHom  X )
) )
7372ad2antll 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  e.  ( Y RingHom  X )  <->  `' F  e.  ( Y RingHom  X )
) )
7473anbi2d 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  <->  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RingHom  X ) ) ) )
7571, 74mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
) )
76 coeq2 4992 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( F  o.  G
)  =  ( F  o.  `' F ) )
7776ad2antll 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  ( F  o.  `' F ) )
78 f1ococnv2 5838 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
7964, 78syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
8077, 79eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )
8175, 67, 80jca31 537 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y
)  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
8268, 75, 81jca31 537 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
8347, 82impbida 842 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RingHom  Y )  /\  G  e.  ( Y RingHom  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  <->  ( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )
8410, 23, 833bitrd 283 1  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F  e.  ( X RingIso  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   class class class wbr 4401    _I cid 4743   `'ccnv 4832    |` cres 4835    o. ccom 4837   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Basecbs 15114   Catccat 15563  Sectcsect 15642  Invcinv 15643   RingHom crh 17933   RingIso crs 17934  RingCatcringc 39992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-cat 15567  df-cid 15568  df-homf 15569  df-sect 15645  df-inv 15646  df-ssc 15708  df-resc 15709  df-subc 15710  df-estrc 16001  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-ghm 16874  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-rnghom 17936  df-rngiso 17937  df-ringc 39994
This theorem is referenced by:  ringciso  40022
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