Theorem ringcinv 40021

Description: An inverse in the category of unital rings is the converse operation. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcsect.c	|- C = (RingCat ` U )
ringcsect.b	|- B = ( Base ` C )
ringcsect.u	|- ( ph -> U e. V )
ringcsect.x	|- ( ph -> X e. B )
ringcsect.y	|- ( ph -> Y e. B )
ringcinv.n	|- N = (Inv ` C )

Assertion

Ref	Expression
ringcinv	|- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) )

Proof of Theorem ringcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcsect.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
2		ringcinv.n	. . 3 |- N = (Inv ` C )
3		ringcsect.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
4		ringcsect.c	. . . . 5 |- C = (RingCat ` U )
5	4	ringccat 40013	. . . 4 |- ( U e. V -> C e. Cat )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
7		ringcsect.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
8		ringcsect.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
9		eqid 2450	. . 3 |- (Sect ` C ) = (Sect ` C )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	isinv 15658	. 2 |- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) ) )
11		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
12	4, 1, 3, 7, 8, 11, 9	ringcsect 40020	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
13		df-3an 986	. . . . 5 |- ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) )
14	12, 13	syl6bb 265	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
15		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16	4, 1, 3, 8, 7, 15, 9	ringcsect 40020	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ( Y (Sect ` C ) X ) F <-> ( G e. ( Y RingHom X ) /\ F e. ( X RingHom Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
17		3ancoma 991	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( Y RingHom X ) /\ F e. ( X RingHom Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
18		df-3an 986	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
19	17, 18	bitri 253	. . . . 5 |- ( ( G e. ( Y RingHom X ) /\ F e. ( X RingHom Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
20	16, 19	syl6bb 265	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( Y (Sect ` C ) X ) F <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
21	14, 20	anbi12d 716	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) )
22		anandi 836	. . 3 |- ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
23	21, 22	syl6bb 265	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) )
24		simplrl 769	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> F e. ( X RingHom Y ) )
25	24	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> F e. ( X RingHom Y ) )
26	11, 15	rhmf 17947	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( X RingHom Y ) -> F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
27	15, 11	rhmf 17947	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( Y RingHom X ) -> G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) )
28	26, 27	anim12i 569	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) )
29	28	ad2antlr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) )
30		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
31	30	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
32		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
33	32	ad2antrl 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
34	29, 31, 33	jca32 538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
35	34	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
36		fcof1o 6192	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) )
37		eqcom 2457	. . . . . . . 8 |- ( `' F = G <-> G = `' F )
38	37	anbi2i 699	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) <-> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
39	36, 38	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
40	35, 39	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
41		anass 654	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) ) )
42	25, 40, 41	sylanbrc 669	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) )
43	11, 15	isrim 17954	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RingIso Y ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) )
44	7, 8, 43	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F e. ( X RingIso Y ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) )
45	44	anbi1d 710	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) )
46	45	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) )
47	42, 46	mpbird 236	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) )
48	11, 15	rimrhm 17956	. . . . . 6 |- ( F e. ( X RingIso Y ) -> F e. ( X RingHom Y ) )
49	48	ad2antrl 733	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> F e. ( X RingHom Y ) )
50		isrim0 17944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RingIso Y ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) )
51	7, 8, 50	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F e. ( X RingIso Y ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) )
52		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F = G -> ( `' F e. ( Y RingHom X ) <-> G e. ( Y RingHom X ) ) )
53	52	eqcoms 2458	. . . . . . . . . . 11 |- ( G = `' F -> ( `' F e. ( Y RingHom X ) <-> G e. ( Y RingHom X ) ) )
54	53	anbi2d 709	. . . . . . . . . 10 |- ( G = `' F -> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) )
55	51, 54	sylan9bbr 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RingIso Y ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) )
56		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) -> G e. ( Y RingHom X ) )
57	55, 56	syl6bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RingIso Y ) -> G e. ( Y RingHom X ) ) )
58	57	com12 32	. . . . . . 7 |- ( F e. ( X RingIso Y ) -> ( ( G = `' F /\ ph ) -> G e. ( Y RingHom X ) ) )
59	58	expdimp 439	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> G e. ( Y RingHom X ) ) )
60	59	impcom 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> G e. ( Y RingHom X ) )
61		coeq1 4991	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) )
62	61	ad2antll 734	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) )
63	11, 15	rimf1o 17955	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( X RingIso Y ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
64	63	ad2antrl 733	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
65		f1ococnv1 5840	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
67	62, 66	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
68	49, 60, 67	jca31 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) )
69	51	biimpcd 228	. . . . . . 7 |- ( F e. ( X RingIso Y ) -> ( ph -> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) )
70	69	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) )
71	70	impcom 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) )
72		eleq1 2516	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( G e. ( Y RingHom X ) <-> `' F e. ( Y RingHom X ) ) )
73	72	ad2antll 734	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G e. ( Y RingHom X ) <-> `' F e. ( Y RingHom X ) ) )
74	73	anbi2d 709	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) )
75	71, 74	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) )
76		coeq2 4992	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) )
77	76	ad2antll 734	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) )
78		f1ococnv2 5838	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
79	64, 78	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
80	77, 79	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
81	75, 67, 80	jca31 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
82	68, 75, 81	jca31 537	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
83	47, 82	impbida 842	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) )
84	10, 23, 83	3bitrd 283	1 |- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   class class class wbr 4401   _I cid 4743   `'ccnv 4832   |` cres 4835   o. ccom 4837   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Basecbs 15114   Catccat 15563  Sectcsect 15642  Invcinv 15643   RingHom crh 17933   RingIso crs 17934  RingCatcringc 39992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-cat 15567  df-cid 15568  df-homf 15569  df-sect 15645  df-inv 15646  df-ssc 15708  df-resc 15709  df-subc 15710  df-estrc 16001  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-ghm 16874  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-rnghom 17936  df-rngiso 17937  df-ringc 39994

This theorem is referenced by:  ringciso  40022