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Theorem ringccatidOLD 33004
Description: Lemma for ringccatOLD 33005. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ringccatOLD.c  |-  C  =  (RingCatOLD `  U )
ringccatidOLD.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
ringccatidOLD  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  B  |->  (  _I  |`  ( Base `  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, U    x, V

Proof of Theorem ringccatidOLD
Dummy variables  f 
g  h  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringccatidOLD.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
21a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  B  =  ( Base `  C
) )
3 eqidd 2458 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C
) )
4 eqidd 2458 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  (comp `  C )  =  (comp `  C ) )
5 ringccatOLD.c . . . 4  |-  C  =  (RingCatOLD `  U )
6 fvex 5882 . . . 4  |-  (RingCatOLD `  U
)  e.  _V
75, 6eqeltri 2541 . . 3  |-  C  e. 
_V
87a1i 11 . 2  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  _V )
9 biid 236 . 2  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  <->  ( (
w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C ) x )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  h  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) ) )
10 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  U  e.  V )
115, 1, 10ringcbasOLD 32998 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  B  =  ( U  i^i  Ring ) )
12 eleq2 2530 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( U  i^i  Ring )  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( U  i^i  Ring ) ) )
13 elin 3683 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( U  i^i  Ring )  <->  ( x  e.  U  /\  x  e. 
Ring ) )
1413simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( U  i^i  Ring )  ->  x  e.  Ring )
1512, 14syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( U  i^i  Ring )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. 
Ring ) )
1615com12 31 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( B  =  ( U  i^i  Ring )  ->  x  e.  Ring ) )
1716adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( B  =  ( U  i^i  Ring )  ->  x  e.  Ring )
)
1811, 17mpd 15 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  Ring )
19 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  x )  =  (
Base `  x )
2019idrhm 17507 . . . 4  |-  ( x  e.  Ring  ->  (  _I  |`  ( Base `  x
) )  e.  ( x RingHom  x ) )
2118, 20syl 16 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  (  _I  |`  ( Base `  x ) )  e.  ( x RingHom  x
) )
22 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
245, 1, 10, 22, 23, 23ringchomOLD 33000 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( x ( Hom  `  C ) x )  =  ( x RingHom  x
) )
2521, 24eleqtrrd 2548 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  (  _I  |`  ( Base `  x ) )  e.  ( x ( Hom  `  C )
x ) )
26 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  U  e.  V )
27 eqid 2457 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
28 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  w  e.  B )
29283ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  w  e.  B )
3029adantl 466 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  w  e.  B )
31 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
32313ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  B )
3332adantl 466 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  x  e.  B )
34 simp1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  ->  U  e.  V )
35283ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  ->  w  e.  B )
36313ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
375, 1, 34, 22, 35, 36ringchomOLD 33000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( w ( Hom  `  C ) x )  =  ( w RingHom  x
) )
3837eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  <->  f  e.  ( w RingHom  x ) ) )
3938biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  -> 
f  e.  ( w RingHom  x ) ) )
40393exp 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  V  ->  (
( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  -> 
f  e.  ( w RingHom  x ) ) ) ) )
4140com14 88 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C )
x )  ->  (
( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  V  ->  f  e.  ( w RingHom  x ) ) ) ) )
42413ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) )  ->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  V  ->  f  e.  ( w RingHom  x
) ) ) ) )
4342com13 80 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) )  ->  ( U  e.  V  ->  f  e.  ( w RingHom  x ) ) ) ) )
44433imp 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( U  e.  V  ->  f  e.  ( w RingHom  x
) ) )
4544impcom 430 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
f  e.  ( w RingHom  x ) )
4621expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( U  e.  V  ->  (  _I  |`  ( Base `  x ) )  e.  ( x RingHom  x ) ) )
4746adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  V  ->  (  _I  |`  ( Base `  x ) )  e.  ( x RingHom  x
) ) )
48473ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( U  e.  V  ->  (  _I  |`  ( Base `  x ) )  e.  ( x RingHom  x ) ) )
4948impcom 430 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
(  _I  |`  ( Base `  x ) )  e.  ( x RingHom  x
) )
505, 1, 26, 27, 30, 33, 33, 45, 49ringccoOLD 33003 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  ( Base `  x ) ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  x
) )  o.  f
) )
51 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  U  e.  V )
52 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  w  e.  B )
53 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  x  e.  B )
545, 1, 51, 22, 52, 53elringchomOLD 33001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  -> 
f : ( Base `  w ) --> ( Base `  x ) ) )
5554ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  V  ->  (
( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C ) x )  ->  f : (
Base `  w ) --> ( Base `  x )
) ) )
5655com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C )
x )  ->  (
( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( U  e.  V  ->  f : ( Base `  w
) --> ( Base `  x
) ) ) )
57 fcoi2 5766 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( Base `  w
) --> ( Base `  x
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  x
) )  o.  f
)  =  f )
5856, 57syl8 70 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C )
x )  ->  (
( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( U  e.  V  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  x ) )  o.  f )  =  f ) ) )
59583ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) )  ->  ( (
w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  V  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  x ) )  o.  f )  =  f ) ) )
6059com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( ( f  e.  ( w ( Hom  `  C ) x )  /\  g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  h  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) )  -> 
( U  e.  V  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  x ) )  o.  f )  =  f ) ) )
6160a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) )  ->  ( U  e.  V  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  x ) )  o.  f )  =  f ) ) ) )
62613imp 1190 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( U  e.  V  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  x ) )  o.  f )  =  f ) )
6362impcom 430 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  ( Base `  x ) )  o.  f )  =  f )
6450, 63eqtrd 2498 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( (  _I  |`  ( Base `  x ) ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f )
65 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  U  e.  V )  ->  U  e.  V )
6631adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
67663ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  U  e.  V )  ->  x  e.  B )
68 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
69683ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  U  e.  V )  ->  y  e.  B )
7047adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( U  e.  V  ->  (  _I  |`  ( Base `  x ) )  e.  ( x RingHom  x
) ) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( x ( Hom  `  C )
y )  ->  (
( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( U  e.  V  ->  (  _I  |`  ( Base `  x
) )  e.  ( x RingHom  x ) ) ) )
72713imp 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  U  e.  V )  ->  (  _I  |`  ( Base `  x
) )  e.  ( x RingHom  x ) )
73 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  U  e.  V )
7466adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  x  e.  B )
7568adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  y  e.  B )
765, 1, 73, 22, 74, 75ringchomOLD 33000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  (
x ( Hom  `  C
) y )  =  ( x RingHom  y ) )
7776eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  (
g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  <->  g  e.  ( x RingHom  y ) ) )
7877biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  (
g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  -> 
g  e.  ( x RingHom 
y ) ) )
7978ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  (
( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( g  e.  ( x ( Hom  `  C ) y )  ->  g  e.  ( x RingHom  y ) ) ) )
8079com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( x ( Hom  `  C )
y )  ->  (
( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( U  e.  V  ->  g  e.  ( x RingHom  y ) ) ) )
81803imp 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  U  e.  V )  ->  g  e.  ( x RingHom  y ) )
825, 1, 65, 27, 67, 67, 69, 72, 81ringccoOLD 33003 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  U  e.  V )  ->  (
g ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) (  _I  |`  ( Base `  x ) ) )  =  ( g  o.  (  _I  |`  ( Base `  x ) ) ) )
835, 1, 73, 22, 74, 75elringchomOLD 33001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
) )  ->  (
g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  -> 
g : ( Base `  x ) --> ( Base `  y ) ) )
8483ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  (
( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( g  e.  ( x ( Hom  `  C ) y )  ->  g : (
Base `  x ) --> ( Base `  y )
) ) )
8584com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( x ( Hom  `  C )
y )  ->  (
( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( U  e.  V  ->  g : ( Base `  x
) --> ( Base `  y
) ) ) )
86853imp 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  U  e.  V )  ->  g : ( Base `  x
) --> ( Base `  y
) )
87 fcoi1 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( g : ( Base `  x
) --> ( Base `  y
)  ->  ( g  o.  (  _I  |`  ( Base `  x ) ) )  =  g )
8886, 87syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  U  e.  V )  ->  (
g  o.  (  _I  |`  ( Base `  x
) ) )  =  g )
8982, 88eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  /\  U  e.  V )  ->  (
g ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) (  _I  |`  ( Base `  x ) ) )  =  g )
90893exp 1195 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( x ( Hom  `  C )
y )  ->  (
( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( U  e.  V  ->  ( g ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) (  _I  |`  ( Base `  x
) ) )  =  g ) ) )
91903ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) )  ->  ( (
( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( U  e.  V  ->  ( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (  _I  |`  ( Base `  x ) ) )  =  g ) ) )
9291expdcom 439 . . . 4  |-  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) )  ->  ( U  e.  V  ->  ( g ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) (  _I  |`  ( Base `  x
) ) )  =  g ) ) ) )
93923imp 1190 . . 3  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( U  e.  V  ->  ( g ( <. x ,  x >. (comp `  C
) y ) (  _I  |`  ( Base `  x ) ) )  =  g ) )
9493impcom 430 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) (  _I  |`  ( Base `  x ) ) )  =  g )
95 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  y  e.  B )
96953ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
975, 1, 34, 22, 36, 96ringchomOLD 33000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( x ( Hom  `  C ) y )  =  ( x RingHom  y
) )
9897eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  <->  g  e.  ( x RingHom  y ) ) )
9998biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  -> 
g  e.  ( x RingHom 
y ) ) )
100993exp 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  V  ->  (
( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( g  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  -> 
g  e.  ( x RingHom 
y ) ) ) ) )
101100com14 88 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( x ( Hom  `  C )
y )  ->  (
( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  V  ->  g  e.  ( x RingHom 
y ) ) ) ) )
1021013ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) )  ->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  V  ->  g  e.  ( x RingHom  y
) ) ) ) )
103102com13 80 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) )  ->  ( U  e.  V  ->  g  e.  ( x RingHom  y ) ) ) ) )
1041033imp 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( U  e.  V  ->  g  e.  ( x RingHom  y
) ) )
105104impcom 430 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
g  e.  ( x RingHom 
y ) )
106 rhmco 17513 . . . 4  |-  ( ( g  e.  ( x RingHom 
y )  /\  f  e.  ( w RingHom  x ) )  ->  ( g  o.  f )  e.  ( w RingHom  y ) )
107105, 45, 106syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g  o.  f
)  e.  ( w RingHom 
y ) )
108953ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  y  e.  B )
109108adantl 466 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
y  e.  B )
1105, 1, 26, 27, 30, 33, 109, 45, 105ringccoOLD 33003 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  =  ( g  o.  f ) )
1115, 1, 26, 22, 30, 109ringchomOLD 33000 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( w ( Hom  `  C ) y )  =  ( w RingHom  y
) )
112107, 110, 1113eltr4d 2560 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( g ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) y ) f )  e.  ( w ( Hom  `  C
) y ) )
113 coass 5532 . . . 4  |-  ( ( h  o.  g )  o.  f )  =  ( h  o.  (
g  o.  f ) )
114 simp2r 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  B )
115114adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
z  e.  B )
116 simp2r 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
z  e.  B )
1175, 1, 34, 22, 96, 116ringchomOLD 33000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( y ( Hom  `  C ) z )  =  ( y RingHom  z
) )
118117eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( h  e.  ( y ( Hom  `  C
) z )  <->  h  e.  ( y RingHom  z ) ) )
119118biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( h  e.  ( y ( Hom  `  C
) z )  ->  h  e.  ( y RingHom  z ) ) )
1201193exp 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  V  ->  (
( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( h  e.  ( y ( Hom  `  C
) z )  ->  h  e.  ( y RingHom  z ) ) ) ) )
121120com14 88 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  ( y ( Hom  `  C )
z )  ->  (
( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  V  ->  h  e.  ( y RingHom 
z ) ) ) ) )
1221213ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) )  ->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( U  e.  V  ->  h  e.  ( y RingHom  z
) ) ) ) )
123122com13 80 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) )  ->  ( U  e.  V  ->  h  e.  ( y RingHom  z ) ) ) ) )
1241233imp 1190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( U  e.  V  ->  h  e.  ( y RingHom  z
) ) )
125124impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  ->  h  e.  ( y RingHom  z ) )
126 rhmco 17513 . . . . . 6  |-  ( ( h  e.  ( y RingHom 
z )  /\  g  e.  ( x RingHom  y ) )  ->  ( h  o.  g )  e.  ( x RingHom  z ) )
127125, 105, 126syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h  o.  g
)  e.  ( x RingHom 
z ) )
1285, 1, 26, 27, 30, 33, 115, 45, 127ringccoOLD 33003 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( ( h  o.  g
)  o.  f ) )
1295, 1, 26, 27, 30, 109, 115, 107, 125ringccoOLD 33003 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g  o.  f ) )  =  ( h  o.  ( g  o.  f
) ) )
130113, 128, 1293eqtr4a 2524 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h  o.  g ) ( <.
w ,  x >. (comp `  C ) z ) f )  =  ( h ( <. w ,  y >. (comp `  C ) z ) ( g  o.  f
) ) )
1315, 1, 26, 27, 33, 109, 115, 105, 125ringccoOLD 33003 . . . 4  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g )  =  ( h  o.  g ) )
132131oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( ( h  o.  g ) (
<. w ,  x >. (comp `  C ) z ) f ) )
133110oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( h ( <.
w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) )  =  ( h ( <. w ,  y
>. (comp `  C )
z ) ( g  o.  f ) ) )
134130, 132, 1333eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ( U  e.  V  /\  ( ( w  e.  B  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( f  e.  ( w ( Hom  `  C
) x )  /\  g  e.  ( x
( Hom  `  C ) y )  /\  h  e.  ( y ( Hom  `  C ) z ) ) ) )  -> 
( ( h (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) g ) ( <. w ,  x >. (comp `  C )
z ) f )  =  ( h (
<. w ,  y >.
(comp `  C )
z ) ( g ( <. w ,  x >. (comp `  C )
y ) f ) ) )
1352, 3, 4, 8, 9, 25, 64, 94, 112, 134iscatd2 15098 1  |-  ( U  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C )  =  ( x  e.  B  |->  (  _I  |`  ( Base `  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    i^i cin 3470   <.cop 4038    |-> cmpt 4515    _I cid 4799    |` cres 5010    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   Hom chom 14723  compcco 14724   Catccat 15081   Idccid 15082   Ringcrg 17325   RingHom crh 17488  RingCatOLDcringcOLD 32956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-cat 15085  df-cid 15086  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-ghm 16392  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-rnghom 17491  df-ringcOLD 32958
This theorem is referenced by:  ringccatOLD  33005  ringcidOLD  33006
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