MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringass Structured version   Unicode version

Theorem ringass 17089
Description: Associative law for the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
ringcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
ringass  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .x.  Z )  =  ( X  .x.  ( Y 
.x.  Z ) ) )

Proof of Theorem ringass
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21ringmgp 17078 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 ringcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 17021 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 ringcl.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
61, 5mgpplusg 17019 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndass 15804 . 2  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( X  .x.  Y )  .x.  Z
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  Z ) ) )
82, 7sylan 471 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .x.  Z )  =  ( X  .x.  ( Y 
.x.  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   .rcmulr 14575   Mndcmnd 15793  mulGrpcmgp 17015   Ringcrg 17072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-plusg 14587  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mgp 17016  df-ring 17074
This theorem is referenced by:  ringmneg1  17116  ringmneg2  17117  imasring  17142  opprring  17154  dvdsrtr  17175  dvdsrmul1  17176  unitgrp  17190  dvrass  17213  dvrcan1  17214  drngmul0or  17291  isdrngd  17295  subrginv  17319  issubrg2  17323  sralmod  17707  unitrrg  17816  sraassa  17848  psrlmod  17928  psrass1  17934  psrass23l  17937  psrass23  17939  frlmphl  18685  mamuass  18777  mamuvs1  18780  mavmulass  18924  mdetrsca  18978  chfacfpmmulgsum2  19239  nrginvrcnlem  21072  ply1divex  22410  rdivmuldivd  27654  dvrcan5  27656  ornglmullt  27670  lflvscl  34542  lflvsass  34546  eqlkr3  34566  lkrlsp  34567  lcfl7lem  36966  lclkrlem2m  36986  lcfrlem1  37009  hgmapvvlem1  37393
  Copyright terms: Public domain W3C validator