MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ring0cl Structured version   Unicode version

Theorem ring0cl 17094
Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ring0cl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
ring0cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
ring0cl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem ring0cl
StepHypRef Expression
1 ringgrp 17077 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 ring0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 ring0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3grpidcl 15952 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578   Basecbs 14509   0gc0g 14714   Grpcgrp 15927   Ringcrg 17072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-ring 17074
This theorem is referenced by:  dvdsr01  17178  dvdsr02  17179  irredn0  17226  f1rhm0to0  17263  cntzsubr  17335  abv0  17354  abvtrivd  17363  lmod0cl  17412  lmod0vs  17419  lmodvs0  17420  lpi0  17769  isnzr2  17785  isnzr2hash  17786  ringelnzr  17788  0ring  17792  01eq0ring  17794  ringen1zr  17799  psr1cl  17929  mvrf  17954  mplmon  17999  mplmonmul  18000  mplcoe1  18001  evlslem3  18057  coe1z  18178  coe1tmfv2  18190  ply1scl0  18205  ply1scln0  18206  gsummoncoe1  18220  frlmphllem  18684  frlmphl  18685  uvcvvcl2  18692  uvcff  18695  mamumat1cl  18814  dmatsubcl  18873  dmatmulcl  18875  scmatscmiddistr  18883  marrepcl  18939  mdetr0  18980  mdetunilem8  18994  mdetunilem9  18995  maducoeval2  19015  maduf  19016  madutpos  19017  madugsum  19018  marep01ma  19035  smadiadetlem4  19044  smadiadetglem2  19047  1elcpmat  19089  m2cpminv0  19135  decpmataa0  19142  monmatcollpw  19153  pmatcollpw3fi1lem1  19160  pmatcollpw3fi1lem2  19161  chfacfisf  19228  cphsubrglem  21497  mdegaddle  22347  ply1divex  22410  facth1  22438  fta1blem  22442  abvcxp  23672  frlmpwfi  31021  zlidlring  32444  cznrng  32473  linc0scn0  32759  linc1  32761  lfl0sc  34547  lflsc0N  34548  baerlem3lem1  37174
  Copyright terms: Public domain W3C validator