MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riinopn Structured version   Unicode version

Theorem riinopn 19924
Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1open.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
riinopn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem riinopn
StepHypRef Expression
1 riin0 4370 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  X )
21adantl 467 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  X )
3 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  J  e.  Top )
4 1open.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
54topopn 19922 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
63, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  X  e.  J )
72, 6eqeltrd 2510 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
84eltopss 19923 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  B  C_  X )
98ex 435 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ( B  e.  J  ->  B 
C_  X ) )
109adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( B  e.  J  ->  B  C_  X )
)
1110ralimdv 2835 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  J  ->  A. x  e.  A  B  C_  X ) )
12113impia 1202 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  ->  A. x  e.  A  B  C_  X
)
13 riinn0 4371 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  B  C_  X  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  B )
1412, 13sylan 473 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  B )
15 iinopn 19918 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  J ) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J )
16153exp2 1223 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  J  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J ) ) ) )
1716com34 86 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  J  ->  ( A  =/=  (/)  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J ) ) ) )
18173imp1 1218 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J )
1914, 18eqeltrd 2510 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
207, 19pm2.61dane 2742 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U.cuni 4216   |^|_ciin 4297   Fincfn 7573   Topctop 19903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-fin 7577  df-top 19907
This theorem is referenced by:  rintopn  19925  iuncld  20046
  Copyright terms: Public domain W3C validator