MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riinopn Structured version   Unicode version

Theorem riinopn 18421
Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1open.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
riinopn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem riinopn
StepHypRef Expression
1 riin0 4241 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  X )
21adantl 463 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  X )
3 simpl1 986 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  J  e.  Top )
4 1open.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
54topopn 18419 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  X  e.  J )
72, 6eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
84eltopss 18420 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  B  C_  X )
98ex 434 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ( B  e.  J  ->  B 
C_  X ) )
109adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( B  e.  J  ->  B  C_  X )
)
1110ralimdv 2793 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  J  ->  A. x  e.  A  B  C_  X ) )
12113impia 1179 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  ->  A. x  e.  A  B  C_  X
)
13 riinn0 4242 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  B  C_  X  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  B )
1412, 13sylan 468 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  B )
15 iinopn 18415 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  J ) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J )
16153exp2 1200 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  J  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J ) ) ) )
1716com34 83 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  J  ->  ( A  =/=  (/)  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J ) ) ) )
18173imp1 1195 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J )
1914, 18eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
207, 19pm2.61dane 2687 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   U.cuni 4088   |^|_ciin 4169   Fincfn 7306   Topctop 18398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-fin 7310  df-top 18403
This theorem is referenced by:  rintopn  18422  iuncld  18549
  Copyright terms: Public domain W3C validator