MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riinopn Structured version   Unicode version

Theorem riinopn 18663
Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1open.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
riinopn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, X
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem riinopn
StepHypRef Expression
1 riin0 4355 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  X )
21adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  X )
3 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  J  e.  Top )
4 1open.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
54topopn 18661 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  X  e.  J )
72, 6eqeltrd 2542 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
84eltopss 18662 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  B  C_  X )
98ex 434 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ( B  e.  J  ->  B 
C_  X ) )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( B  e.  J  ->  B  C_  X )
)
1110ralimdv 2834 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  J  ->  A. x  e.  A  B  C_  X ) )
12113impia 1185 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  ->  A. x  e.  A  B  C_  X
)
13 riinn0 4356 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  B  C_  X  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  B )
1412, 13sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  B )
15 iinopn 18657 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  e.  J ) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J )
16153exp2 1206 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  J  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J ) ) ) )
1716com34 83 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  J  ->  ( A  =/=  (/)  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J ) ) ) )
18173imp1 1201 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  J )
1914, 18eqeltrd 2542 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
207, 19pm2.61dane 2770 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  J )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  B )  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   U.cuni 4202   |^|_ciin 4283   Fincfn 7423   Topctop 18640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-fin 7427  df-top 18645
This theorem is referenced by:  rintopn  18664  iuncld  18791
  Copyright terms: Public domain W3C validator