Theorem riesz4i 11633

Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104.

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	|- T e. LinFn
nlelch.2	|- T e. ConFn

Assertion

Ref	Expression
riesz4i	|- E!w e. ~H A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w)

Distinct variable group:   w,v,T

Proof of Theorem riesz4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . 5 |- (w = u -> (v .ih w) = (v .ih u))
2	1	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (w = u -> ((T` v) = (v .ih w) <-> (T` v) = (v .ih u)))
3	2	ralbidv 2123	. . 3 |- (w = u -> (A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w) <-> A.v e. ~H (T` v) = (v .ih u)))
4	3	reu4 2446	. 2 |- (E!w e. ~H A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w) <-> (E.w e. ~H A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w) /\ A.w e. ~H A.u e. ~H ((A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w) /\ A.v e. ~H (T` v) = (v .ih u)) -> w = u)))
5		nlelch.1	. . 3 |- T e. LinFn
6		nlelch.2	. . 3 |- T e. ConFn
7	5, 6	riesz3i 11632	. 2 |- E.w e. ~H A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w)
8		hvsubcl 10519	. . . . . 6 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> (w -h u) e. ~H)
9		opreq1 4889	. . . . . . . . 9 |- (v = (w -h u) -> (v .ih w) = ((w -h u) .ih w))
10		opreq1 4889	. . . . . . . . 9 |- (v = (w -h u) -> (v .ih u) = ((w -h u) .ih u))
11	9, 10	opreq12d 4900	. . . . . . . 8 |- (v = (w -h u) -> ((v .ih w) - (v .ih u)) = (((w -h u) .ih w) - ((w -h u) .ih u)))
12	11	eqeq1d 1892	. . . . . . 7 |- (v = (w -h u) -> (((v .ih w) - (v .ih u)) = 0 <-> (((w -h u) .ih w) - ((w -h u) .ih u)) = 0))
13	12	rcla4v 2376	. . . . . 6 |- ((w -h u) e. ~H -> (A.v e. ~H ((v .ih w) - (v .ih u)) = 0 -> (((w -h u) .ih w) - ((w -h u) .ih u)) = 0))
14	8, 13	syl 12	. . . . 5 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> (A.v e. ~H ((v .ih w) - (v .ih u)) = 0 -> (((w -h u) .ih w) - ((w -h u) .ih u)) = 0))
15		normcl 10624	. . . . . . . . . 10 |- ((w -h u) e. ~H -> (normh` (w -h u)) e. RR)
16	15	recnd 6468	. . . . . . . . 9 |- ((w -h u) e. ~H -> (normh` (w -h u)) e. CC)
17		sqeq0 7858	. . . . . . . . 9 |- ((normh` (w -h u)) e. CC -> (((normh` (w -h u))^2) = 0 <-> (normh` (w -h u)) = 0))
18	16, 17	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((w -h u) e. ~H -> (((normh` (w -h u))^2) = 0 <-> (normh` (w -h u)) = 0))
19		norm-i 10629	. . . . . . . 8 |- ((w -h u) e. ~H -> ((normh` (w -h u)) = 0 <-> (w -h u) = 0h))
20	18, 19	bitrd 587	. . . . . . 7 |- ((w -h u) e. ~H -> (((normh` (w -h u))^2) = 0 <-> (w -h u) = 0h))
21	8, 20	syl 12	. . . . . 6 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> (((normh` (w -h u))^2) = 0 <-> (w -h u) = 0h))
22		normsq 10634	. . . . . . . . 9 |- ((w -h u) e. ~H -> ((normh` (w -h u))^2) = ((w -h u) .ih (w -h u)))
23	8, 22	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> ((normh` (w -h u))^2) = ((w -h u) .ih (w -h u)))
24		simpl 346	. . . . . . . . 9 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> w e. ~H)
25		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> u e. ~H)
26		his2sub2 10592	. . . . . . . . 9 |- (((w -h u) e. ~H /\ w e. ~H /\ u e. ~H) -> ((w -h u) .ih (w -h u)) = (((w -h u) .ih w) - ((w -h u) .ih u)))
27	8, 24, 25, 26	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> ((w -h u) .ih (w -h u)) = (((w -h u) .ih w) - ((w -h u) .ih u)))
28	23, 27	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> ((normh` (w -h u))^2) = (((w -h u) .ih w) - ((w -h u) .ih u)))
29	28	eqeq1d 1892	. . . . . 6 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> (((normh` (w -h u))^2) = 0 <-> (((w -h u) .ih w) - ((w -h u) .ih u)) = 0))
30		hvsubeq0 10567	. . . . . 6 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> ((w -h u) = 0h <-> w = u))
31	21, 29, 30	3bitr3d 607	. . . . 5 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> ((((w -h u) .ih w) - ((w -h u) .ih u)) = 0 <-> w = u))
32	14, 31	sylibd 219	. . . 4 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> (A.v e. ~H ((v .ih w) - (v .ih u)) = 0 -> w = u))
33		r19.26 2219	. . . . 5 |- (A.v e. ~H ((T` v) = (v .ih w) /\ (T` v) = (v .ih u)) <-> (A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w) /\ A.v e. ~H (T` v) = (v .ih u)))
34		opreq12 4891	. . . . . . . 8 |- (((T` v) = (v .ih w) /\ (T` v) = (v .ih u)) -> ((T` v) - (T` v)) = ((v .ih w) - (v .ih u)))
35	34	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((v e. ~H /\ ((T` v) = (v .ih w) /\ (T` v) = (v .ih u))) -> ((T` v) - (T` v)) = ((v .ih w) - (v .ih u)))
36	5	lnfnfi 11607	. . . . . . . . . 10 |- T:~H-->CC
37	36	ffvelrni 4788	. . . . . . . . 9 |- (v e. ~H -> (T` v) e. CC)
38		subid 6555	. . . . . . . . 9 |- ((T` v) e. CC -> ((T` v) - (T` v)) = 0)
39	37, 38	syl 12	. . . . . . . 8 |- (v e. ~H -> ((T` v) - (T` v)) = 0)
40	39	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((v e. ~H /\ ((T` v) = (v .ih w) /\ (T` v) = (v .ih u))) -> ((T` v) - (T` v)) = 0)
41	35, 40	eqtr3d 1927	. . . . . 6 |- ((v e. ~H /\ ((T` v) = (v .ih w) /\ (T` v) = (v .ih u))) -> ((v .ih w) - (v .ih u)) = 0)
42	41	ralimiaa 2167	. . . . 5 |- (A.v e. ~H ((T` v) = (v .ih w) /\ (T` v) = (v .ih u)) -> A.v e. ~H ((v .ih w) - (v .ih u)) = 0)
43	33, 42	sylbir 218	. . . 4 |- ((A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w) /\ A.v e. ~H (T` v) = (v .ih u)) -> A.v e. ~H ((v .ih w) - (v .ih u)) = 0)
44	32, 43	syl5 20	. . 3 |- ((w e. ~H /\ u e. ~H) -> ((A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w) /\ A.v e. ~H (T` v) = (v .ih u)) -> w = u))
45	44	rgen2a 2160	. 2 |- A.w e. ~H A.u e. ~H ((A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w) /\ A.v e. ~H (T` v) = (v .ih u)) -> w = u)
46	4, 7, 45	mpbir2an 800	1 |- E!w e. ~H A.v e. ~H (T` v) = (v .ih w)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   - cmin 6445  2c2 7145  ^cexp 7811  ~Hchil 10420  0hc0v 10423   -h cmv 10424   .ih csp 10425  normhcno 10426  ConFnccnf 10454  LinFnclf 10455

This theorem is referenced by:  riesz4 11634

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-nlfn 11409  df-cnfn 11410  df-lnfn 11411

Copyright terms: Public domain