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Theorem riesz3i 23518
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Existence part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1  |-  T  e. 
LinFn
nlelch.2  |-  T  e. 
ConFn
Assertion
Ref Expression
riesz3i  |-  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )
Distinct variable group:    w, v, T

Proof of Theorem riesz3i
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22459 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 nlelch.1 . . . . . . 7  |-  T  e. 
LinFn
32lnfnfi 23497 . . . . . 6  |-  T : ~H
--> CC
4 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  =  ( _|_ `  0H ) )
5 nlelch.2 . . . . . . . . . . 11  |-  T  e. 
ConFn
62, 5nlelchi 23517 . . . . . . . . . 10  |-  ( null `  T )  e.  CH
76ococi 22860 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  =  ( null `  T )
8 choc0 22781 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  0H )  =  ~H
94, 7, 83eqtr3g 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  ( null `  T )  =  ~H )
109eleq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  ( v  e.  ( null `  T
)  <->  v  e.  ~H ) )
1110biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  v  e.  ( null `  T
) )
12 elnlfn2 23385 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  v  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  v
)  =  0 )
133, 11, 12sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  =  0 )
14 hi02 22552 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ~H  ->  (
v  .ih  0h )  =  0 )
1514adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  (
v  .ih  0h )  =  0 )
1613, 15eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h ) )
1716ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h )
)
18 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( w  =  0h  ->  (
v  .ih  w )  =  ( v  .ih  0h ) )
1918eqeq2d 2415 . . . . 5  |-  ( w  =  0h  ->  (
( T `  v
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h )
) )
2019ralbidv 2686 . . . 4  |-  ( w  =  0h  ->  ( A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )  <->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h )
) )
2120rspcev 3012 . . 3  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h ) )  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
221, 17, 21sylancr 645 . 2  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
236choccli 22762 . . . 4  |-  ( _|_ `  ( null `  T
) )  e.  CH
2423chne0i 22908 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =/= 
0H 
<->  E. u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) ) u  =/=  0h )
2523cheli 22688 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  ->  u  e.  ~H )
263ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~H  ->  ( T `  u )  e.  CC )
2726adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( T `  u
)  e.  CC )
28 hicl 22535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( u  .ih  u
)  e.  CC )
2928anidms 627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
u  .ih  u )  e.  CC )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( u  .ih  u
)  e.  CC )
31 his6 22554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( u  .ih  u
)  =  0  <->  u  =  0h ) )
3231necon3bid 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( u  .ih  u
)  =/=  0  <->  u  =/=  0h ) )
3332biimpar 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( u  .ih  u
)  =/=  0 )
3427, 30, 33divcld 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  e.  CC )
3534cjcld 11956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( * `  (
( T `  u
)  /  ( u 
.ih  u ) ) )  e.  CC )
36 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  ->  u  e.  ~H )
37 hvmulcl 22469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( * `  (
( T `  u
)  /  ( u 
.ih  u ) ) )  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H )
3835, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H )
3938adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  ->  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H )
40 hvmulcl 22469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H )
4126, 40sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H )
423ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ~H  ->  ( T `  v )  e.  CC )
43 hvmulcl 22469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )
4442, 43sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )
4544ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )
46 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  u  e.  ~H )
47 his2sub 22547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H  /\  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  .h  v )  -h  ( ( T `  v )  .h  u
) )  .ih  u
)  =  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  .ih  u )  -  ( ( ( T `  v )  .h  u )  .ih  u ) ) )
4841, 45, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  .h  v )  -h  ( ( T `  v )  .h  u
) )  .ih  u
)  =  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  .ih  u )  -  ( ( ( T `  v )  .h  u )  .ih  u ) ) )
4926adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  u
)  e.  CC )
50 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  v  e.  ~H )
51 ax-his3 22539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  u )  .h  v
)  .ih  u )  =  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) ) )
5249, 50, 46, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  .ih  u
)  =  ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) ) )
5342adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v
)  e.  CC )
54 ax-his3 22539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  v )  .h  u
)  .ih  u )  =  ( ( T `
 v )  x.  ( u  .ih  u
) ) )
5553, 46, 46, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 v )  .h  u )  .ih  u
)  =  ( ( T `  v )  x.  ( u  .ih  u ) ) )
5652, 55oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  .h  v )  .ih  u )  -  (
( ( T `  v )  .h  u
)  .ih  u )
)  =  ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  -  ( ( T `
 v )  x.  ( u  .ih  u
) ) ) )
5748, 56eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  -  (
( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) )  =  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) 
.ih  u ) )
5857adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  -  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
) )  =  ( ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  .ih  u ) )
59 hvsubcl 22473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H  /\  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ~H )
6041, 45, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ~H )
612lnfnsubi 23502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H  /\  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  ( ( T `  ( ( T `  u )  .h  v ) )  -  ( T `  ( ( T `  v )  .h  u
) ) ) )
6241, 45, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  ( ( T `  ( ( T `  u )  .h  v ) )  -  ( T `  ( ( T `  v )  .h  u
) ) ) )
632lnfnmuli 23500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  u
)  .h  v ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6426, 63sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  u
)  .h  v ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
652lnfnmuli 23500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  v )  x.  ( T `  u ) ) )
66 mulcom 9032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  ( T `  u )  e.  CC )  -> 
( ( T `  v )  x.  ( T `  u )
)  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6726, 66sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  x.  ( T `  u )
)  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6865, 67eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6942, 68sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
7069ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
7164, 70oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( T `  u )  .h  v
) )  -  ( T `  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  ( ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) )  -  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v )
) ) )
72 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  ( T `  v )  e.  CC )  -> 
( ( T `  u )  x.  ( T `  v )
)  e.  CC )
7326, 42, 72syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v )
)  e.  CC )
7473subidd 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  x.  ( T `  v
) )  -  (
( T `  u
)  x.  ( T `
 v ) ) )  =  0 )
7562, 71, 743eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  0 )
76 elnlfn 23384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ( null `  T )  <->  ( (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) )  e.  ~H  /\  ( T `  ( (
( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) ) )  =  0 ) ) )
773, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( ( ( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) )  e. 
~H  /\  ( T `  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) ) )  =  0 ) )
7860, 75, 77sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ( null `  T ) )
796chssii 22687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( null `  T )  C_  ~H
80 ocorth 22746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
null `  T )  C_ 
~H  ->  ( ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) )  e.  ( null `  T
)  /\  u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) )  .ih  u )  =  0 ) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ( null `  T )  /\  u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  ->  ( (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) 
.ih  u )  =  0 )
8278, 81sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  /\  u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) ) )  -> 
( ( ( ( T `  u )  .h  v )  -h  ( ( T `  v )  .h  u
) )  .ih  u
)  =  0 )
8382ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) )  /\  (
u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) 
.ih  u )  =  0 )
8483anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) )  .ih  u )  =  0 )
8558, 84eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  -  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
) )  =  0 )
86 hicl 22535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  u
)  e.  CC )
8786ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  u
)  e.  CC )
8849, 87mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  x.  (
v  .ih  u )
)  e.  CC )
89 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  ( u  .ih  u )  e.  CC )  -> 
( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
)  e.  CC )
9042, 29, 89syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
)  e.  CC )
9188, 90subeq0ad 9377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  -  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
) )  =  0  <-> 
( ( T `  u )  x.  (
v  .ih  u )
)  =  ( ( T `  v )  x.  ( u  .ih  u ) ) ) )
9291adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  -  ( ( T `
 v )  x.  ( u  .ih  u
) ) )  =  0  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
9385, 92mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) )
9493adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) )
9588adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  e.  CC )
9642adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  e.  CC )
9730, 33jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( ( u  .ih  u )  e.  CC  /\  ( u  .ih  u
)  =/=  0 ) )
9897adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( u 
.ih  u )  e.  CC  /\  ( u 
.ih  u )  =/=  0 ) )
99 divmul3 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T `  u )  x.  (
v  .ih  u )
)  e.  CC  /\  ( T `  v )  e.  CC  /\  (
( u  .ih  u
)  e.  CC  /\  ( u  .ih  u )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( T `  v
)  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
10095, 96, 98, 99syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( T `  v
)  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
101100adantlll 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( T `  v
)  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
10294, 101mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( T `  v ) )
10327adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  u )  e.  CC )
10487adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  u )  e.  CC )
105 div23 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  ( v  .ih  u
)  e.  CC  /\  ( ( u  .ih  u )  e.  CC  /\  ( u  .ih  u
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) )  x.  (
v  .ih  u )
) )
106103, 104, 98, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  x.  ( v 
.ih  u ) ) )
10734adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) )  e.  CC )
108 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  v  e.  ~H )
109 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  u  e.  ~H )
110 his52 22542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
v  .ih  ( (
* `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) )  =  ( ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) )  x.  ( v  .ih  u
) ) )
111107, 108, 109, 110syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) )  =  ( ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  x.  ( v 
.ih  u ) ) )
112106, 111eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) )
113112adantlll 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) )
114102, 113eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) )
115114ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  ->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) ) )
116 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( ( * `
 ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) ) )  .h  u )  ->  (
v  .ih  w )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) ) )
117116eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( ( * `
 ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) ) )  .h  u )  ->  (
( T `  v
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) ) )
118117ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( * `
 ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) ) )  .h  u )  ->  ( A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )  <->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) ) )
119118rspcev 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H  /\  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) ) )  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
12039, 115, 119syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
121120ex 424 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) )  /\  u  e.  ~H )  ->  (
u  =/=  0h  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) ) )
12225, 121mpdan 650 . . . 4  |-  ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  ->  ( u  =/= 
0h  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) ) )
123122rexlimiv 2784 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) ) u  =/= 
0h  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
12424, 123sylbi 188 . 2  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =/= 
0H  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
12522, 124pm2.61ine 2643 1  |-  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951    - cmin 9247    / cdiv 9633   *ccj 11856   ~Hchil 22375    .h csm 22377    .ih csp 22378   0hc0v 22380    -h cmv 22381   _|_cort 22386   0Hc0h 22391   nullcnl 22408   ConFnccnfn 22409   LinFnclf 22410
This theorem is referenced by:  riesz4i  23519  riesz1  23521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540  ax-hcompl 22657
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-subgo 21843  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ssp 22174  df-ph 22267  df-cbn 22318  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-hlim 22428  df-hcau 22429  df-sh 22662  df-ch 22677  df-oc 22707  df-ch0 22708  df-nlfn 23302  df-cnfn 23303  df-lnfn 23304
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