Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz3i Structured version   Unicode version

Theorem riesz3i 27550
 Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Existence part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1
nlelch.2
Assertion
Ref Expression
riesz3i
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem riesz3i
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 26491 . . 3
2 nlelch.1 . . . . . . 7
32lnfnfi 27529 . . . . . 6
4 fveq2 5881 . . . . . . . . 9
5 nlelch.2 . . . . . . . . . . 11
62, 5nlelchi 27549 . . . . . . . . . 10
76ococi 26893 . . . . . . . . 9
8 choc0 26814 . . . . . . . . 9
94, 7, 83eqtr3g 2493 . . . . . . . 8
109eleq2d 2499 . . . . . . 7
1110biimpar 487 . . . . . 6
12 elnlfn2 27417 . . . . . 6
133, 11, 12sylancr 667 . . . . 5
14 hi02 26585 . . . . . 6
1514adantl 467 . . . . 5
1613, 15eqtr4d 2473 . . . 4
1716ralrimiva 2846 . . 3
18 oveq2 6313 . . . . . 6
1918eqeq2d 2443 . . . . 5
2019ralbidv 2871 . . . 4
2120rspcev 3188 . . 3
221, 17, 21sylancr 667 . 2
236choccli 26795 . . . 4
2423chne0i 26941 . . 3
2523cheli 26720 . . . . 5
263ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . 12
2726adantr 466 . . . . . . . . . . 11
28 hicl 26568 . . . . . . . . . . . . 13
2928anidms 649 . . . . . . . . . . . 12
3029adantr 466 . . . . . . . . . . 11
31 his6 26587 . . . . . . . . . . . . 13
3231necon3bid 2689 . . . . . . . . . . . 12
3332biimpar 487 . . . . . . . . . . 11
3427, 30, 33divcld 10382 . . . . . . . . . 10
3534cjcld 13238 . . . . . . . . 9
36 simpl 458 . . . . . . . . 9
37 hvmulcl 26501 . . . . . . . . 9
3835, 36, 37syl2anc 665 . . . . . . . 8
3938adantll 718 . . . . . . 7
40 hvmulcl 26501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4126, 40sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
423ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43 hvmulcl 26501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4442, 43sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 his2sub 26580 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4841, 45, 46, 47syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15
4926adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
51 ax-his3 26572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5249, 50, 46, 51syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5342adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 ax-his3 26572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5553, 46, 46, 54syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5652, 55oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15
5748, 56eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
5857adantll 718 . . . . . . . . . . . . 13
59 hvsubcl 26505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6041, 45, 59syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
612lnfnsubi 27534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6241, 45, 61syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
632lnfnmuli 27532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6426, 63sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
652lnfnmuli 27532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
66 mulcom 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6726, 66sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6865, 67eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6942, 68sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7069ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7164, 70oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72 mulcl 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7326, 42, 72syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7473subidd 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7562, 71, 743eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
76 elnlfn 27416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
773, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7860, 75, 77sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16
796chssii 26719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 ocorth 26779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8278, 81sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . 14
8483anassrs 652 . . . . . . . . . . . . 13
8558, 84eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12
86 hicl 26568 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
8849, 87mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . 14
89 mulcl 9622 . . . . . . . . . . . . . . 15
9042, 29, 89syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . 14
9188, 90subeq0ad 9995 . . . . . . . . . . . . 13
9291adantll 718 . . . . . . . . . . . 12
9385, 92mpbid 213 . . . . . . . . . . 11
9493adantlr 719 . . . . . . . . . 10
9588adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12
9642adantl 467 . . . . . . . . . . . 12
9730, 33jca 534 . . . . . . . . . . . . 13
9897adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
99 divmul3 10274 . . . . . . . . . . . 12
10095, 96, 98, 99syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
101100adantlll 722 . . . . . . . . . 10
10294, 101mpbird 235 . . . . . . . . 9
10327adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
10487adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12
105 div23 10288 . . . . . . . . . . . 12
106103, 104, 98, 105syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
10734adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
108 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12
109 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12
110 his52 26575 . . . . . . . . . . . 12
111107, 108, 109, 110syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
112106, 111eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10
113112adantlll 722 . . . . . . . . 9
114102, 113eqtr3d 2472 . . . . . . . 8
115114ralrimiva 2846 . . . . . . 7
116 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10
117116eqeq2d 2443 . . . . . . . . 9
118117ralbidv 2871 . . . . . . . 8
119118rspcev 3188 . . . . . . 7
12039, 115, 119syl2anc 665 . . . . . 6
121120ex 435 . . . . 5
12225, 121mpdan 672 . . . 4
123122rexlimiv 2918 . . 3
12424, 123sylbi 198 . 2
12522, 124pm2.61ine 2744 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  wrex 2783   wss 3442  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cc0 9538   cmul 9543   cmin 9859   cdiv 10268  ccj 13138  chil 26407   csm 26409   csp 26410  c0v 26412   cmv 26413  cort 26418  c0h 26423  cnl 26440  ccnfn 26441  clf 26442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hvcom 26489  ax-hvass 26490  ax-hv0cl 26491  ax-hvaddid 26492  ax-hfvmul 26493  ax-hvmulid 26494  ax-hvmulass 26495  ax-hvdistr1 26496  ax-hvdistr2 26497  ax-hvmul0 26498  ax-hfi 26567  ax-his1 26570  ax-his2 26571  ax-his3 26572  ax-his4 26573  ax-hcompl 26690 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-lm 20176  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-subgo 25875  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-dip 26182  df-ssp 26206  df-ph 26299  df-cbn 26350  df-hnorm 26456  df-hba 26457  df-hvsub 26459  df-hlim 26460  df-hcau 26461  df-sh 26695  df-ch 26709  df-oc 26740  df-ch0 26741  df-nlfn 27334  df-cnfn 27335  df-lnfn 27336 This theorem is referenced by:  riesz4i  27551  riesz1  27553
 Copyright terms: Public domain W3C validator