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Theorem riesz3i 26685
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Existence part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1  |-  T  e. 
LinFn
nlelch.2  |-  T  e. 
ConFn
Assertion
Ref Expression
riesz3i  |-  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )
Distinct variable group:    w, v, T

Proof of Theorem riesz3i
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 25624 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 nlelch.1 . . . . . . 7  |-  T  e. 
LinFn
32lnfnfi 26664 . . . . . 6  |-  T : ~H
--> CC
4 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  =  ( _|_ `  0H ) )
5 nlelch.2 . . . . . . . . . . 11  |-  T  e. 
ConFn
62, 5nlelchi 26684 . . . . . . . . . 10  |-  ( null `  T )  e.  CH
76ococi 26027 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  =  ( null `  T )
8 choc0 25948 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  0H )  =  ~H
94, 7, 83eqtr3g 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  ( null `  T )  =  ~H )
109eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  ( v  e.  ( null `  T
)  <->  v  e.  ~H ) )
1110biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  v  e.  ( null `  T
) )
12 elnlfn2 26552 . . . . . 6  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  v  e.  ( null `  T ) )  -> 
( T `  v
)  =  0 )
133, 11, 12sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  =  0 )
14 hi02 25718 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ~H  ->  (
v  .ih  0h )  =  0 )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  (
v  .ih  0h )  =  0 )
1613, 15eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h ) )
1716ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h )
)
18 oveq2 6292 . . . . . 6  |-  ( w  =  0h  ->  (
v  .ih  w )  =  ( v  .ih  0h ) )
1918eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( w  =  0h  ->  (
( T `  v
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h )
) )
2019ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( w  =  0h  ->  ( A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )  <->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h )
) )
2120rspcev 3214 . . 3  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  0h ) )  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
221, 17, 21sylancr 663 . 2  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =  0H  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
236choccli 25929 . . . 4  |-  ( _|_ `  ( null `  T
) )  e.  CH
2423chne0i 26075 . . 3  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =/= 
0H 
<->  E. u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) ) u  =/=  0h )
2523cheli 25854 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  ->  u  e.  ~H )
263ffvelrni 6020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~H  ->  ( T `  u )  e.  CC )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( T `  u
)  e.  CC )
28 hicl 25701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( u  .ih  u
)  e.  CC )
2928anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
u  .ih  u )  e.  CC )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( u  .ih  u
)  e.  CC )
31 his6 25720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( u  .ih  u
)  =  0  <->  u  =  0h ) )
3231necon3bid 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( u  .ih  u
)  =/=  0  <->  u  =/=  0h ) )
3332biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( u  .ih  u
)  =/=  0 )
3427, 30, 33divcld 10320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  e.  CC )
3534cjcld 12992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( * `  (
( T `  u
)  /  ( u 
.ih  u ) ) )  e.  CC )
36 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  ->  u  e.  ~H )
37 hvmulcl 25634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( * `  (
( T `  u
)  /  ( u 
.ih  u ) ) )  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H )
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H )
3938adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  ->  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H )
40 hvmulcl 25634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H )
4126, 40sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H )
423ffvelrni 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ~H  ->  ( T `  v )  e.  CC )
43 hvmulcl 25634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )
4442, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )
4544ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )
46 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  u  e.  ~H )
47 his2sub 25713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H  /\  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  .h  v )  -h  ( ( T `  v )  .h  u
) )  .ih  u
)  =  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  .ih  u )  -  ( ( ( T `  v )  .h  u )  .ih  u ) ) )
4841, 45, 46, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  .h  v )  -h  ( ( T `  v )  .h  u
) )  .ih  u
)  =  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  .ih  u )  -  ( ( ( T `  v )  .h  u )  .ih  u ) ) )
4926adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  u
)  e.  CC )
50 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  v  e.  ~H )
51 ax-his3 25705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  u )  .h  v
)  .ih  u )  =  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) ) )
5249, 50, 46, 51syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  .ih  u
)  =  ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) ) )
5342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v
)  e.  CC )
54 ax-his3 25705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  v )  .h  u
)  .ih  u )  =  ( ( T `
 v )  x.  ( u  .ih  u
) ) )
5553, 46, 46, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 v )  .h  u )  .ih  u
)  =  ( ( T `  v )  x.  ( u  .ih  u ) ) )
5652, 55oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  .h  v )  .ih  u )  -  (
( ( T `  v )  .h  u
)  .ih  u )
)  =  ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  -  ( ( T `
 v )  x.  ( u  .ih  u
) ) ) )
5748, 56eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  -  (
( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) )  =  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) 
.ih  u ) )
5857adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  -  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
) )  =  ( ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  .ih  u ) )
59 hvsubcl 25638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H  /\  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ~H )
6041, 45, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ~H )
612lnfnsubi 26669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  e.  ~H  /\  ( ( T `  v )  .h  u
)  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  ( ( T `  ( ( T `  u )  .h  v ) )  -  ( T `  ( ( T `  v )  .h  u
) ) ) )
6241, 45, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  ( ( T `  ( ( T `  u )  .h  v ) )  -  ( T `  ( ( T `  v )  .h  u
) ) ) )
632lnfnmuli 26667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  u
)  .h  v ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6426, 63sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  u
)  .h  v ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
652lnfnmuli 26667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  v )  x.  ( T `  u ) ) )
66 mulcom 9578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  ( T `  u )  e.  CC )  -> 
( ( T `  v )  x.  ( T `  u )
)  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6726, 66sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  x.  ( T `  u )
)  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6865, 67eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  u  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
6942, 68sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
7069ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( T `  v
)  .h  u ) )  =  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) ) )
7164, 70oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( T `  u )  .h  v
) )  -  ( T `  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  ( ( ( T `  u )  x.  ( T `  v ) )  -  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v )
) ) )
72 mulcl 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  ( T `  v )  e.  CC )  -> 
( ( T `  u )  x.  ( T `  v )
)  e.  CC )
7326, 42, 72syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  x.  ( T `  v )
)  e.  CC )
7473subidd 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  x.  ( T `  v
) )  -  (
( T `  u
)  x.  ( T `
 v ) ) )  =  0 )
7562, 71, 743eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) )  =  0 )
76 elnlfn 26551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ( null `  T )  <->  ( (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) )  e.  ~H  /\  ( T `  ( (
( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) ) )  =  0 ) ) )
773, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) )  e.  ( null `  T
)  <->  ( ( ( ( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) )  e. 
~H  /\  ( T `  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) ) )  =  0 ) )
7860, 75, 77sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ( null `  T ) )
796chssii 25853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( null `  T )  C_  ~H
80 ocorth 25913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
null `  T )  C_ 
~H  ->  ( ( ( ( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) )  e.  ( null `  T
)  /\  u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) )  .ih  u )  =  0 ) )
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( T `
 u )  .h  v )  -h  (
( T `  v
)  .h  u ) )  e.  ( null `  T )  /\  u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) ) )  ->  ( (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) 
.ih  u )  =  0 )
8278, 81sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  /\  u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) ) )  -> 
( ( ( ( T `  u )  .h  v )  -h  ( ( T `  v )  .h  u
) )  .ih  u
)  =  0 )
8382ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) )  /\  (
u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( T `  u )  .h  v
)  -h  ( ( T `  v )  .h  u ) ) 
.ih  u )  =  0 )
8483anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  .h  v )  -h  ( ( T `
 v )  .h  u ) )  .ih  u )  =  0 )
8558, 84eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  -  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
) )  =  0 )
86 hicl 25701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  u
)  e.  CC )
8786ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  u
)  e.  CC )
8849, 87mulcld 9616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  u )  x.  (
v  .ih  u )
)  e.  CC )
89 mulcl 9576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T `  v
)  e.  CC  /\  ( u  .ih  u )  e.  CC )  -> 
( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
)  e.  CC )
9042, 29, 89syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
)  e.  CC )
9188, 90subeq0ad 9940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  -  ( ( T `  v )  x.  (
u  .ih  u )
) )  =  0  <-> 
( ( T `  u )  x.  (
v  .ih  u )
)  =  ( ( T `  v )  x.  ( u  .ih  u ) ) ) )
9291adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  -  ( ( T `
 v )  x.  ( u  .ih  u
) ) )  =  0  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
9385, 92mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) )
9493adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) )
9588adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  e.  CC )
9642adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  e.  CC )
9730, 33jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  -> 
( ( u  .ih  u )  e.  CC  /\  ( u  .ih  u
)  =/=  0 ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( u 
.ih  u )  e.  CC  /\  ( u 
.ih  u )  =/=  0 ) )
99 divmul3 10212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T `  u )  x.  (
v  .ih  u )
)  e.  CC  /\  ( T `  v )  e.  CC  /\  (
( u  .ih  u
)  e.  CC  /\  ( u  .ih  u )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( T `  v
)  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
10095, 96, 98, 99syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( T `  v
)  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
101100adantlll 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( T `  v
)  <->  ( ( T `
 u )  x.  ( v  .ih  u
) )  =  ( ( T `  v
)  x.  ( u 
.ih  u ) ) ) )
10294, 101mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( T `  v ) )
10327adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  u )  e.  CC )
10487adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  u )  e.  CC )
105 div23 10226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T `  u
)  e.  CC  /\  ( v  .ih  u
)  e.  CC  /\  ( ( u  .ih  u )  e.  CC  /\  ( u  .ih  u
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( T `  u
)  x.  ( v 
.ih  u ) )  /  ( u  .ih  u ) )  =  ( ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) )  x.  (
v  .ih  u )
) )
106103, 104, 98, 105syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  x.  ( v 
.ih  u ) ) )
10734adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) )  e.  CC )
108 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  v  e.  ~H )
109 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  u  e.  ~H )
110 his52 25708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  e.  CC  /\  v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
v  .ih  ( (
* `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) )  =  ( ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) )  x.  ( v  .ih  u
) ) )
111107, 108, 109, 110syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) )  =  ( ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
)  x.  ( v 
.ih  u ) ) )
112106, 111eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) )
113112adantlll 717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( ( ( T `  u )  x.  ( v  .ih  u ) )  / 
( u  .ih  u
) )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) )
114102, 113eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  /\  v  e.  ~H )  ->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) )
115114ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  ->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) ) )
116 oveq2 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( ( * `
 ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) ) )  .h  u )  ->  (
v  .ih  w )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) ) )
117116eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( ( * `
 ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) ) )  .h  u )  ->  (
( T `  v
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) ) )
118117ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( * `
 ( ( T `
 u )  / 
( u  .ih  u
) ) )  .h  u )  ->  ( A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )  <->  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  ( u  .ih  u ) ) )  .h  u ) ) ) )
119118rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
)  e.  ~H  /\  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  ( ( * `  ( ( T `  u )  /  (
u  .ih  u )
) )  .h  u
) ) )  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
12039, 115, 119syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  /\  u  e.  ~H )  /\  u  =/=  0h )  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
121120ex 434 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) )  /\  u  e.  ~H )  ->  (
u  =/=  0h  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) ) )
12225, 121mpdan 668 . . . 4  |-  ( u  e.  ( _|_ `  ( null `  T ) )  ->  ( u  =/= 
0h  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) ) )
123122rexlimiv 2949 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( _|_ `  ( null `  T
) ) u  =/= 
0h  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
12424, 123sylbi 195 . 2  |-  ( ( _|_ `  ( null `  T ) )  =/= 
0H  ->  E. w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w ) )
12522, 124pm2.61ine 2780 1  |-  E. w  e.  ~H  A. v  e. 
~H  ( T `  v )  =  ( v  .ih  w )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492    x. cmul 9497    - cmin 9805    / cdiv 10206   *ccj 12892   ~Hchil 25540    .h csm 25542    .ih csp 25543   0hc0v 25545    -h cmv 25546   _|_cort 25551   0Hc0h 25556   nullcnl 25573   ConFnccnfn 25574   LinFnclf 25575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706  ax-hcompl 25823
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-lm 19524  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cfil 21457  df-cau 21458  df-cmet 21459  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-hcau 25594  df-sh 25828  df-ch 25843  df-oc 25874  df-ch0 25875  df-nlfn 26469  df-cnfn 26470  df-lnfn 26471
This theorem is referenced by:  riesz4i  26686  riesz1  26688
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