HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz1 Structured version   Unicode version

Theorem riesz1 26688
Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 26689. For the continuous linear functional version, see riesz3i 26685 and riesz4 26687. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
riesz1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 T )  e.  RR  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem riesz1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncnbd 26680 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  ( normfn `  T )  e.  RR ) )
2 elin 3687 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn ) )
3 fveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( T `  x
)  =  ( if ( T  e.  (
LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  x ) )
43eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  <-> 
( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
54rexralbidv 2981 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  -> 
( E. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 x )  =  ( x  .ih  y
) ) )
6 inss1 3718 . . . . . . . 8  |-  ( LinFn  i^i  ConFn )  C_  LinFn
7 0lnfn 26608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
8 0cnfn 26603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ConFn
9 elin 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  (
LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  /\  ( ~H  X.  { 0 } )  e.  ConFn ) )
107, 8, 9mpbir2an 918 . . . . . . . . 9  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
1110elimel 4002 . . . . . . . 8  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )
126, 11sselii 3501 . . . . . . 7  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  LinFn
13 inss2 3719 . . . . . . . 8  |-  ( LinFn  i^i  ConFn )  C_  ConFn
1413, 11sselii 3501 . . . . . . 7  |-  if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn
1512, 14riesz3i 26685 . . . . . 6  |-  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( if ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 x )  =  ( x  .ih  y
)
165, 15dedth 3991 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
172, 16sylbir 213 . . . 4  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )
1817ex 434 . . 3  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn  ->  E. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
19 normcl 25746 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
2019adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
21 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  ( abs `  ( T `  x ) )  =  ( abs `  (
x  .ih  y )
) )
2221adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  =  ( abs `  ( x 
.ih  y ) ) )
23 bcs 25802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y )
) )
24 normcl 25746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
25 recn 9582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  x )  e.  RR  ->  ( normh `  x )  e.  CC )
26 recn 9582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh `  y )  e.  RR  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
27 mulcom 9578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) )
2825, 26, 27syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( normh `  x )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  x )  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) )
2924, 19, 28syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( normh `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
3023, 29breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3130adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
x  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( x  .ih  y
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3322, 32eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) )  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3433ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  x  e.  ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  ( x  .ih  y
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3534an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 x )  =  ( x  .ih  y
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  (
( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3635ralimdva 2872 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
37 oveq1 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( z  x.  ( normh `  x )
)  =  ( (
normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )
3837breq2d 4459 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) )  <-> 
( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) ) )
3938ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( normh `  y
)  ->  ( A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x ) ) ) )
4039rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( ( normh `  y )  x.  ( normh `  x )
) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e. 
~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( z  x.  ( normh `  x )
) )
4120, 36, 40syl6an 545 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e. 
~H  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( z  x.  ( normh `  x )
) ) )
4241rexlimdva 2955 . . . 4  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) ) ) )
43 lnfncon 26679 . . . 4  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( z  x.  ( normh `  x ) ) ) )
4442, 43sylibrd 234 . . 3  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y )  ->  T  e.  ConFn ) )
4518, 44impbid 191 . 2  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
461, 45bitr3d 255 1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( ( normfn `
 T )  e.  RR  <->  E. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  ( T `  x )  =  ( x  .ih  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    x. cmul 9497    <_ cle 9629   abscabs 13030   ~Hchil 25540    .ih csp 25543   normhcno 25544   normfncnmf 25572   ConFnccnfn 25574   LinFnclf 25575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706  ax-hcompl 25823
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-lm 19524  df-t1 19609  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cfil 21457  df-cau 21458  df-cmet 21459  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-hcau 25594  df-sh 25828  df-ch 25843  df-oc 25874  df-ch0 25875  df-nmfn 26468  df-nlfn 26469  df-cnfn 26470  df-lnfn 26471
This theorem is referenced by:  rnbra  26730
  Copyright terms: Public domain W3C validator