Theorem riesz1 11635

Description: Part 1 of the Riesz representation theorem for bounded linear functionals. A linear functional is bounded iff its value can be expressed as an inner product. Part of Theorem 17.3 of [Halmos] p. 31. For part 2, see riesz2 11636. For the continuous linear functional version, see riesz3i 11632 and riesz4 11634.

Assertion

Ref	Expression
riesz1	|- (T e. LinFn -> ((normfn` T) e. RR <-> E.y e. ~H A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y)))

Distinct variable group:   x,y,T

Proof of Theorem riesz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfncnbd 11629	. 2 |- (T e. LinFn -> (T e. ConFn <-> (normfn` T) e. RR))
2		elin 2786	. . . . 5 |- (T e. (LinFn i^i ConFn) <-> (T e. LinFn /\ T e. ConFn))
3		fveq1 4680	. . . . . . . 8 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) -> (T` x) = (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))` x))
4	3	eqeq1d 1892	. . . . . . 7 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) -> ((T` x) = (x .ih y) <-> (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))` x) = (x .ih y)))
5	4	rexralbidv 2142	. . . . . 6 |- (T = if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) -> (E.y e. ~H A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y) <-> E.y e. ~H A.x e. ~H (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))` x) = (x .ih y)))
6		inss1 2812	. . . . . . . 8 |- (LinFn i^i ConFn) C_ LinFn
7		elin 2786	. . . . . . . . . 10 |- ((~H X. {0}) e. (LinFn i^i ConFn) <-> ((~H X. {0}) e. LinFn /\ (~H X. {0}) e. ConFn))
8		0lnfn 11546	. . . . . . . . . 10 |- (~H X. {0}) e. LinFn
9		0cnfn 11541	. . . . . . . . . 10 |- (~H X. {0}) e. ConFn
10	7, 8, 9	mpbir2an 800	. . . . . . . . 9 |- (~H X. {0}) e. (LinFn i^i ConFn)
11	10	elimel 3025	. . . . . . . 8 |- if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. (LinFn i^i ConFn)
12	6, 11	sselii 2618	. . . . . . 7 |- if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. LinFn
13		inss2 2813	. . . . . . . 8 |- (LinFn i^i ConFn) C_ ConFn
14	13, 11	sselii 2618	. . . . . . 7 |- if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0})) e. ConFn
15	12, 14	riesz3i 11632	. . . . . 6 |- E.y e. ~H A.x e. ~H (if(T e. (LinFn i^i ConFn), T, (~H X. {0}))` x) = (x .ih y)
16	5, 15	dedth 3011	. . . . 5 |- (T e. (LinFn i^i ConFn) -> E.y e. ~H A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y))
17	2, 16	sylbir 218	. . . 4 |- ((T e. LinFn /\ T e. ConFn) -> E.y e. ~H A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y))
18	17	ex 402	. . 3 |- (T e. LinFn -> (T e. ConFn -> E.y e. ~H A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y)))
19		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T` x) = (x .ih y) -> (abs` (T` x)) = (abs` (x .ih y)))
20	19	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- ((((T e. LinFn /\ x e. ~H) /\ y e. ~H) /\ (T` x) = (x .ih y)) -> (abs` (T` x)) = (abs` (x .ih y)))
21		bcs 10681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (abs` (x .ih y)) <_ ((normh` x) x. (normh` y)))
22		mulcom 6459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((normh` x) e. CC /\ (normh` y) e. CC) -> ((normh` x) x. (normh` y)) = ((normh` y) x. (normh` x)))
23		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((normh` x) e. RR -> (normh` x) e. CC)
24		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((normh` y) e. RR -> (normh` y) e. CC)
25	22, 23, 24	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((normh` x) e. RR /\ (normh` y) e. RR) -> ((normh` x) x. (normh` y)) = ((normh` y) x. (normh` x)))
26		normcl 10624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. ~H -> (normh` x) e. RR)
27		normcl 10624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. ~H -> (normh` y) e. RR)
28	25, 26, 27	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((normh` x) x. (normh` y)) = ((normh` y) x. (normh` x)))
29	21, 28	breqtrd 3361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (abs` (x .ih y)) <_ ((normh` y) x. (normh` x)))
30	29	adantll 428	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. LinFn /\ x e. ~H) /\ y e. ~H) -> (abs` (x .ih y)) <_ ((normh` y) x. (normh` x)))
31	30	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((((T e. LinFn /\ x e. ~H) /\ y e. ~H) /\ (T` x) = (x .ih y)) -> (abs` (x .ih y)) <_ ((normh` y) x. (normh` x)))
32	20, 31	eqbrtrd 3357	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. LinFn /\ x e. ~H) /\ y e. ~H) /\ (T` x) = (x .ih y)) -> (abs` (T` x)) <_ ((normh` y) x. (normh` x)))
33	32	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (((T e. LinFn /\ x e. ~H) /\ y e. ~H) -> ((T` x) = (x .ih y) -> (abs` (T` x)) <_ ((normh` y) x. (normh` x))))
34	33	an1rs 547	. . . . . . . 8 |- (((T e. LinFn /\ y e. ~H) /\ x e. ~H) -> ((T` x) = (x .ih y) -> (abs` (T` x)) <_ ((normh` y) x. (normh` x))))
35	34	ralimdvaa 2171	. . . . . . 7 |- ((T e. LinFn /\ y e. ~H) -> (A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y) -> A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ ((normh` y) x. (normh` x))))
36	27	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((T e. LinFn /\ y e. ~H) -> (normh` y) e. RR)
37	35, 36	jctild 662	. . . . . 6 |- ((T e. LinFn /\ y e. ~H) -> (A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y) -> ((normh` y) e. RR /\ A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ ((normh` y) x. (normh` x)))))
38		opreq1 4889	. . . . . . . . 9 |- (z = (normh` y) -> (z x. (normh` x)) = ((normh` y) x. (normh` x)))
39	38	breq2d 3350	. . . . . . . 8 |- (z = (normh` y) -> ((abs` (T` x)) <_ (z x. (normh` x)) <-> (abs` (T` x)) <_ ((normh` y) x. (normh` x))))
40	39	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (z = (normh` y) -> (A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ (z x. (normh` x)) <-> A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ ((normh` y) x. (normh` x))))
41	40	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- (((normh` y) e. RR /\ A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ ((normh` y) x. (normh` x))) -> E.z e. RR A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ (z x. (normh` x)))
42	37, 41	syl6 25	. . . . 5 |- ((T e. LinFn /\ y e. ~H) -> (A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y) -> E.z e. RR A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ (z x. (normh` x))))
43	42	r19.23adva 2216	. . . 4 |- (T e. LinFn -> (E.y e. ~H A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y) -> E.z e. RR A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ (z x. (normh` x))))
44		lnfncon 11628	. . . 4 |- (T e. LinFn -> (T e. ConFn <-> E.z e. RR A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ (z x. (normh` x))))
45	43, 44	sylibrd 221	. . 3 |- (T e. LinFn -> (E.y e. ~H A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y) -> T e. ConFn))
46	18, 45	impbid 574	. 2 |- (T e. LinFn -> (T e. ConFn <-> E.y e. ~H A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y)))
47	1, 46	bitr3d 589	1 |- (T e. LinFn -> ((normfn` T) e. RR <-> E.y e. ~H A.x e. ~H (T` x) = (x .ih y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592  ifcif 2982  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448  abscabs 8000  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  normhcno 10426  norm_fncnmf 10452  ConFnccnf 10454  LinFnclf 10455

This theorem is referenced by:  rnbra 11678

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-nmfn 11408  df-nlfn 11409  df-cnfn 11410  df-lnfn 11411

Copyright terms: Public domain