Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcOLDlem3 Structured version   Unicode version

Theorem rhmsubcOLDlem3 33059
 Description: Lemma 3 for rhmsubcOLD 33061. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmOLD.u
rngcrescrhmOLD.c RngCatOLD
rngcrescrhmOLD.r
rngcrescrhmOLD.h RingHom
Assertion
Ref Expression
rhmsubcOLDlem3 RngCatOLD
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem rhmsubcOLDlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcrescrhmOLD.r . . . . . 6
21eleq2d 2527 . . . . 5
3 elinel1 31627 . . . . 5
42, 3syl6bi 228 . . . 4
54imp 429 . . 3
6 eqid 2457 . . . 4
76idrhm 17507 . . 3 RingHom
85, 7syl 16 . 2 RingHom
9 rngcrescrhmOLD.u . . . . 5
109adantr 465 . . . 4
11 eqid 2457 . . . . 5 RngCatOLD RngCatOLD
12 eqid 2457 . . . . 5 RngCatOLD RngCatOLD
1311, 12rngccatidOLD 32941 . . . 4 RngCatOLD RngCatOLD RngCatOLD
14 simpr 461 . . . 4 RngCatOLD RngCatOLD RngCatOLD RngCatOLD RngCatOLD
1510, 13, 143syl 20 . . 3 RngCatOLD RngCatOLD
16 fveq2 5872 . . . . 5
1716reseq2d 5283 . . . 4
19 incom 3687 . . . . . . . 8
201, 19syl6eq 2514 . . . . . . 7
2120eleq2d 2527 . . . . . 6
22 ringrng 32829 . . . . . . . 8 Rng
2322anim2i 569 . . . . . . 7 Rng
24 elin 3683 . . . . . . 7
25 elin 3683 . . . . . . 7 Rng Rng
2623, 24, 253imtr4i 266 . . . . . 6 Rng
2721, 26syl6bi 228 . . . . 5 Rng
2827imp 429 . . . 4 Rng
29 rngcrescrhmOLD.c . . . . . 6 RngCatOLD
3029eqcomi 2470 . . . . . . 7 RngCatOLD
3130fveq2i 5875 . . . . . 6 RngCatOLD
3229, 31, 9rngcbasOLD 32935 . . . . 5 RngCatOLD Rng
3332adantr 465 . . . 4 RngCatOLD Rng
3428, 33eleqtrrd 2548 . . 3 RngCatOLD
35 fvex 5882 . . . . 5
3635a1i 11 . . . 4
3736resiexd 6139 . . 3
3815, 18, 34, 37fvmptd 5961 . 2 RngCatOLD
39 rngcrescrhmOLD.h . . . 4 RingHom
409, 29, 1, 39rhmsubcOLDlem2 33058 . . 3 RingHom
41403anidm23 1287 . 2 RingHom
428, 38, 413eltr4d 2560 1 RngCatOLD
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109   cin 3470   cmpt 4515   cid 4799   cxp 5006   cres 5010  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644  ccat 15081  ccid 15082  crg 17325   RingHom crh 17488  Rngcrng 32824  RngCatOLDcrngcOLD 32910 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-cat 15085  df-cid 15086  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-ghm 16392  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-rnghom 17491  df-mgmhm 32729  df-rng0 32825  df-rnghomo 32837  df-rngcOLD 32912 This theorem is referenced by:  rhmsubcOLD  33061
 Copyright terms: Public domain W3C validator