Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsscrnghm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rhmsscrnghm 40536
 Description: The unital ring homomorphisms between unital rings (in a universe) are a subcategory subset of the non-unital ring homomorphisms between non-unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsscrnghm.u
rhmsscrnghm.r
rhmsscrnghm.s Rng
Assertion
Ref Expression
rhmsscrnghm RingHom cat RngHomo

Proof of Theorem rhmsscrnghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringrng 40387 . . . . . 6 Rng
21a1i 11 . . . . 5 Rng
32ssrdv 3424 . . . 4 Rng
4 ssrin 3648 . . . 4 Rng Rng
53, 4syl 17 . . 3 Rng
6 rhmsscrnghm.r . . 3
7 rhmsscrnghm.s . . 3 Rng
85, 6, 73sstr4d 3461 . 2
9 ovres 6455 . . . . . . 7 RingHom RingHom
109adantl 473 . . . . . 6 RingHom RingHom
1110eleq2d 2534 . . . . 5 RingHom RingHom
12 rhmisrnghm 40428 . . . . . 6 RingHom RngHomo
138sseld 3417 . . . . . . . . . 10
148sseld 3417 . . . . . . . . . 10
1513, 14anim12d 572 . . . . . . . . 9
1615imp 436 . . . . . . . 8
17 ovres 6455 . . . . . . . 8 RngHomo RngHomo
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 RngHomo RngHomo
1918eleq2d 2534 . . . . . 6 RngHomo RngHomo
2012, 19syl5ibr 229 . . . . 5 RingHom RngHomo
2111, 20sylbid 223 . . . 4 RingHom RngHomo
2221ssrdv 3424 . . 3 RingHom RngHomo
2322ralrimivva 2814 . 2 RingHom RngHomo
24 inss1 3643 . . . . . 6
256, 24syl6eqss 3468 . . . . 5
26 xpss12 4945 . . . . 5
2725, 25, 26syl2anc 673 . . . 4
28 rhmfn 40426 . . . . 5 RingHom
29 fnssresb 5698 . . . . 5 RingHom RingHom
3028, 29mp1i 13 . . . 4 RingHom
3127, 30mpbird 240 . . 3 RingHom
32 inss1 3643 . . . . . 6 Rng Rng
337, 32syl6eqss 3468 . . . . 5 Rng
34 xpss12 4945 . . . . 5 Rng Rng Rng Rng
3533, 33, 34syl2anc 673 . . . 4 Rng Rng
36 rnghmfn 40398 . . . . 5 RngHomo Rng Rng
37 fnssresb 5698 . . . . 5 RngHomo Rng Rng RngHomo Rng Rng
3836, 37mp1i 13 . . . 4 RngHomo Rng Rng
3935, 38mpbird 240 . . 3 RngHomo
40 rhmsscrnghm.u . . . . 5
41 incom 3616 . . . . . 6 Rng Rng
42 inex1g 4539 . . . . . 6 Rng
4341, 42syl5eqel 2553 . . . . 5 Rng
4440, 43syl 17 . . . 4 Rng
457, 44eqeltrd 2549 . . 3
4631, 39, 45isssc 15803 . 2 RingHom cat RngHomo RingHom RngHomo
478, 23, 46mpbir2and 936 1 RingHom cat RngHomo
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   cin 3389   wss 3390   class class class wbr 4395   cxp 4837   cres 4841   wfn 5584  (class class class)co 6308   cat cssc 15790  crg 17858   RingHom crh 18018  Rngcrng 40382   RngHomo crngh 40393 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-ssc 15793  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-ghm 16959  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-rnghom 18021  df-mgmhm 40287  df-rng0 40383  df-rnghomo 40395 This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  40539  rhmsubc  40600  rhmsubcALTV  40619
 Copyright terms: Public domain W3C validator