Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsscmap2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rhmsscmap2 40529
 Description: The unital ring homomorphisms between unital rings (in a universe) are a subcategory subset of the mappings between base sets of unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 6-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsscmap.u
rhmsscmap.r
Assertion
Ref Expression
rhmsscmap2 RingHom cat
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem rhmsscmap2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3437 . . 3
21a1i 11 . 2
3 eqid 2471 . . . . . . 7
4 eqid 2471 . . . . . . 7
53, 4rhmf 18032 . . . . . 6 RingHom
6 simpr 468 . . . . . . . 8
7 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
8 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
97, 8pm3.2i 462 . . . . . . . . 9
10 elmapg 7503 . . . . . . . . 9
119, 10mp1i 13 . . . . . . . 8
126, 11mpbird 240 . . . . . . 7
1312ex 441 . . . . . 6
145, 13syl5 32 . . . . 5 RingHom
1514ssrdv 3424 . . . 4 RingHom
16 ovres 6455 . . . . 5 RingHom RingHom
1716adantl 473 . . . 4 RingHom RingHom
18 eqidd 2472 . . . . . 6
19 fveq2 5879 . . . . . . . 8
20 fveq2 5879 . . . . . . . 8
2119, 20oveqan12rd 6328 . . . . . . 7
2221adantl 473 . . . . . 6
23 simpl 464 . . . . . 6
24 simpr 468 . . . . . 6
25 ovex 6336 . . . . . . 7
2625a1i 11 . . . . . 6
2718, 22, 23, 24, 26ovmpt2d 6443 . . . . 5
2827adantl 473 . . . 4
2915, 17, 283sstr4d 3461 . . 3 RingHom
3029ralrimivva 2814 . 2 RingHom
31 rhmfn 40426 . . . . 5 RingHom
3231a1i 11 . . . 4 RingHom
33 rhmsscmap.r . . . . . 6
34 inss1 3643 . . . . . 6
3533, 34syl6eqss 3468 . . . . 5
36 xpss12 4945 . . . . 5
3735, 35, 36syl2anc 673 . . . 4
38 fnssres 5699 . . . 4 RingHom RingHom
3932, 37, 38syl2anc 673 . . 3 RingHom
40 eqid 2471 . . . . 5
41 ovex 6336 . . . . 5
4240, 41fnmpt2i 6881 . . . 4
4342a1i 11 . . 3
44 incom 3616 . . . . 5
45 rhmsscmap.u . . . . . 6
46 inex1g 4539 . . . . . 6
4745, 46syl 17 . . . . 5
4844, 47syl5eqel 2553 . . . 4
4933, 48eqeltrd 2549 . . 3
5039, 43, 49isssc 15803 . 2 RingHom cat RingHom
512, 30, 50mpbir2and 936 1 RingHom cat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   cin 3389   wss 3390   class class class wbr 4395   cxp 4837   cres 4841   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cmap 7490  cbs 15199   cat cssc 15790  crg 17858   RingHom crh 18018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-ssc 15793  df-mhm 16660  df-ghm 16959  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-rnghom 18021 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator