Theorem rhmmul 17225

Description: A homomorphism of rings preserves multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmmul.x	|- X = ( Base ` R )
rhmmul.m	|- .x. = ( .r ` R )
rhmmul.n	|- .X. = ( .r ` S )

Assertion

Ref	Expression
rhmmul	|- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( F ` ( A .x. B ) ) = ( ( F ` A ) .X. ( F ` B ) ) )

Proof of Theorem rhmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2		eqid 2467	. . 3 |- (mulGrp ` S ) = (mulGrp ` S )
3	1, 2	rhmmhm 17220	. 2 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F e. ( (mulGrp ` R ) MndHom (mulGrp ` S ) ) )
4		rhmmul.x	. . . 4 |- X = ( Base ` R )
5	1, 4	mgpbas 16996	. . 3 |- X = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
6		rhmmul.m	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
7	1, 6	mgpplusg 16994	. . 3 |- .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
8		rhmmul.n	. . . 4 |- .X. = ( .r ` S )
9	2, 8	mgpplusg 16994	. . 3 |- .X. = ( +g ` (mulGrp ` S ) )
10	5, 7, 9	mhmlin 15826	. 2 |- ( ( F e. ( (mulGrp ` R ) MndHom (mulGrp ` S ) ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( F ` ( A .x. B ) ) = ( ( F ` A ) .X. ( F ` B ) ) )
11	3, 10	syl3an1 1261	1 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( F ` ( A .x. B ) ) = ( ( F ` A ) .X. ( F ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   .rcmulr 14568   MndHom cmhm 15817  mulGrpcmgp 16990   RingHom crh 17210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-plusg 14580  df-0g 14709  df-mhm 15819  df-ghm 16114  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-rnghom 17213

This theorem is referenced by:  srngmul  17355  evl1muld  18226  evl1scvarpw  18246  domnchr  18415  znfld  18445  znidomb  18446  znunit  18448  znrrg  18450  mat2pmatmul  19078  mat2pmatlin  19082  cayhamlem4  19235  ply1rem  22409  fta1glem2  22412  fta1blem  22414  dchrzrhmul  23364  lgsdchr  23466  lgseisenlem3  23469  lgseisenlem4  23470  rhmdvdsr  27601  rhmopp  27602  rhmdvd  27604  rhmunitinv  27605  kerunit  27606  qqhghm  27762  qqhrhm  27763