Theorem rhmmul 16749

Description: A homomorphism of rings preserves multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmmul.x	|- X = ( Base ` R )
rhmmul.m	|- .x. = ( .r ` R )
rhmmul.n	|- .X. = ( .r ` S )

Assertion

Ref	Expression
rhmmul	|- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( F ` ( A .x. B ) ) = ( ( F ` A ) .X. ( F ` B ) ) )

Proof of Theorem rhmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2433	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2		eqid 2433	. . 3 |- (mulGrp ` S ) = (mulGrp ` S )
3	1, 2	rhmmhm 16746	. 2 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F e. ( (mulGrp ` R ) MndHom (mulGrp ` S ) ) )
4		rhmmul.x	. . . 4 |- X = ( Base ` R )
5	1, 4	mgpbas 16571	. . 3 |- X = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
6		rhmmul.m	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
7	1, 6	mgpplusg 16569	. . 3 |- .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
8		rhmmul.n	. . . 4 |- .X. = ( .r ` S )
9	2, 8	mgpplusg 16569	. . 3 |- .X. = ( +g ` (mulGrp ` S ) )
10	5, 7, 9	mhmlin 15454	. 2 |- ( ( F e. ( (mulGrp ` R ) MndHom (mulGrp ` S ) ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( F ` ( A .x. B ) ) = ( ( F ` A ) .X. ( F ` B ) ) )
11	3, 10	syl3an1 1244	1 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( F ` ( A .x. B ) ) = ( ( F ` A ) .X. ( F ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157   .rcmulr 14222   MndHom cmhm 15445  mulGrpcmgp 16565   RingHom crh 16738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-plusg 14234  df-0g 14363  df-mhm 15447  df-ghm 15725  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-rnghom 16740

This theorem is referenced by:  srngmul  16867  domnchr  17805  znfld  17835  znidomb  17836  znunit  17838  znrrg  17840  evl1muld  21387  ply1rem  21520  fta1glem2  21523  fta1blem  21525  dchrzrhmul  22470  lgsdchr  22572  lgseisenlem3  22575  lgseisenlem4  22576  rhmdvdsr  26139  rhmopp  26140  rhmdvd  26142  rhmunitinv  26143  kerunit  26144  qqhghm  26271  qqhrhm  26272