MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmmhm Structured version   Unicode version

Theorem rhmmhm 17503
Description: A ring homomorphism is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhm.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
isrhm.n  |-  N  =  (mulGrp `  S )
Assertion
Ref Expression
rhmmhm  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )

Proof of Theorem rhmmhm
StepHypRef Expression
1 isrhm.m . . . 4  |-  M  =  (mulGrp `  R )
2 isrhm.n . . . 4  |-  N  =  (mulGrp `  S )
31, 2isrhm 17502 . . 3  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e. 
Ring )  /\  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F  e.  ( M MndHom  N ) ) ) )
43simprbi 462 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F  e.  ( M MndHom  N ) ) )
54simprd 461 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   MndHom cmhm 16100    GrpHom cghm 16400  mulGrpcmgp 17273   Ringcrg 17330   RingHom crh 17493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-er 7247  df-map 7358  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-2 10529  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-plusg 14734  df-0g 14868  df-mhm 16102  df-ghm 16401  df-mgp 17274  df-ur 17286  df-ring 17332  df-rnghom 17496
This theorem is referenced by:  rhmmul  17508  rhm1  17511  rhmf1o  17513  rhmco  17518  pwsco2rhm  17520  resrhm  17590  rhmeql  17591  rhmima  17592  evlslem1  18316  mpfind  18337  evls1gsummul  18494  evls1varpw  18495  evl1expd  18513  evl1gsummul  18528  zrhpsgnmhm  18730  lgsqrlem1  23752  lgseisenlem4  23763  dchrisum0flblem1  23829
  Copyright terms: Public domain W3C validator