MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmghm Structured version   Unicode version

Theorem rhmghm 17248
Description: A ring homomorphism is an additive group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rhmghm  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )

Proof of Theorem rhmghm
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
31, 2isrhm 17244 . . 3  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e. 
Ring )  /\  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F  e.  ( (mulGrp `  R
) MndHom  (mulGrp `  S )
) ) ) )
43simprbi 464 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F  e.  ( (mulGrp `  R ) MndHom  (mulGrp `  S ) ) ) )
54simpld 459 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   MndHom cmhm 15838    GrpHom cghm 16138  mulGrpcmgp 17015   Ringcrg 17072   RingHom crh 17235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mhm 15840  df-ghm 16139  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-rnghom 17238
This theorem is referenced by:  rhmf  17249  rhmf1o  17255  rimgim  17259  rhmco  17260  pwsco2rhm  17262  f1rhm0to0  17263  f1rhm0to0ALT  17264  kerf1hrm  17266  resrhm  17332  rhmeql  17333  rhmima  17334  srngadd  17380  srng0  17383  mplind  18041  evlslem6  18055  evlslem6OLD  18056  evlslem3  18057  evlslem1  18058  mpfind  18079  evls1gsumadd  18235  evl1addd  18251  evl1subd  18252  mulgrhm2  18406  mulgrhm2OLD  18409  zrh0  18424  chrrhm  18441  zndvds0  18462  zzngim  18464  cygznlem3  18481  zrhpsgnodpm  18501  ply1rem  22437  plypf1  22482  rhmopp  27682  qqhghm  27842  qqhrhm  27843
  Copyright terms: Public domain W3C validator