MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf Structured version   Unicode version

Theorem rhmf 17247
Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rhmf.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
rhmf  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : B
--> C )

Proof of Theorem rhmf
StepHypRef Expression
1 rhmghm 17246 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
2 rhmf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rhmf.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  S
)
42, 3ghmf 16143 . 2  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  F : B
--> C )
51, 4syl 16 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : B
--> C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507    GrpHom cghm 16136   RingHom crh 17233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mhm 15839  df-ghm 16137  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-rnghom 17236
This theorem is referenced by:  rhmf1o  17252  kerf1hrm  17263  srngf1o  17374  evlslem6  18051  evlslem6OLD  18052  evlslem3  18053  evlslem1  18054  evlseu  18055  mpfconst  18069  mpfproj  18070  mpfsubrg  18071  mpfind  18075  evls1val  18227  evls1sca  18230  evl1val  18235  fveval1fvcl  18239  evl1addd  18247  evl1subd  18248  evl1muld  18249  evl1expd  18251  pf1const  18252  pf1id  18253  pf1subrg  18254  mpfpf1  18257  pf1mpf  18258  pf1ind  18261  mulgrhm2  18402  mulgrhm2OLD  18405  chrrhm  18437  domnchr  18438  znf1o  18459  znidomb  18469  ply1remlem  22431  ply1rem  22432  facth1  22433  fta1glem1  22434  fta1glem2  22435  fta1g  22436  fta1blem  22437  plypf1  22477  dchrzrhmul  23387  lgsqrlem1  23482  lgsqrlem2  23483  lgsqrlem3  23484  lgseisenlem3  23492  lgseisenlem4  23493  rhmdvdsr  27633  rhmopp  27634  rhmdvd  27636  kerunit  27638  pl1cn  27762  zrhunitpreima  27784  elzrhunit  27785  qqhval2lem  27787  qqhf  27792  qqhghm  27794  qqhrhm  27795  qqhnm  27796  idomrootle  31081  elringchom  32365  ringcinv  32372  funcringcsetclem8  32383  funcringcsetclem9  32384
  Copyright terms: Public domain W3C validator