MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf Structured version   Unicode version

Theorem rhmf 16949
Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rhmf.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
rhmf  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : B
--> C )

Proof of Theorem rhmf
StepHypRef Expression
1 rhmghm 16948 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
2 rhmf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rhmf.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  S
)
42, 3ghmf 15874 . 2  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  F : B
--> C )
51, 4syl 16 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : B
--> C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296    GrpHom cghm 15867   RingHom crh 16937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-mhm 15587  df-ghm 15868  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-rnghom 16939
This theorem is referenced by:  rhmf1o  16954  kerf1hrm  16964  srngf1o  17072  evlslem6  17732  evlslem6OLD  17733  evlslem3  17734  evlslem1  17735  evlseu  17736  mpfconst  17750  mpfproj  17751  mpfsubrg  17752  mpfind  17756  evls1val  17890  evls1sca  17893  evl1val  17898  fveval1fvcl  17902  evl1addd  17910  evl1subd  17911  evl1muld  17912  evl1expd  17914  pf1const  17915  pf1id  17916  pf1subrg  17917  mpfpf1  17920  pf1mpf  17921  pf1ind  17924  mulgrhm2  18062  mulgrhm2OLD  18065  chrrhm  18097  domnchr  18098  znf1o  18119  znidomb  18129  ply1remlem  21777  ply1rem  21778  facth1  21779  fta1glem1  21780  fta1glem2  21781  fta1g  21782  fta1blem  21783  plypf1  21823  dchrzrhmul  22728  lgsqrlem1  22823  lgsqrlem2  22824  lgsqrlem3  22825  lgseisenlem3  22833  lgseisenlem4  22834  rhmdvdsr  26454  rhmopp  26455  rhmdvd  26457  kerunit  26459  pl1cn  26553  zrhunitpreima  26575  elzrhunit  26576  qqhval2lem  26578  qqhf  26583  qqhghm  26585  qqhrhm  26586  qqhnm  26587  idomrootle  29731
  Copyright terms: Public domain W3C validator