MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf Structured version   Unicode version

Theorem rhmf 17488
Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rhmf.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
rhmf  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : B
--> C )

Proof of Theorem rhmf
StepHypRef Expression
1 rhmghm 17487 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
2 rhmf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rhmf.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  S
)
42, 3ghmf 16388 . 2  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  F : B
--> C )
51, 4syl 16 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : B
--> C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634    GrpHom cghm 16381   RingHom crh 17474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-mhm 16083  df-ghm 16382  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-rnghom 17477
This theorem is referenced by:  rhmf1o  17494  kerf1hrm  17505  srngf1o  17616  evlslem6  18294  evlslem6OLD  18295  evlslem3  18296  evlslem1  18297  evlseu  18298  mpfconst  18312  mpfproj  18313  mpfsubrg  18314  mpfind  18318  evls1val  18470  evls1sca  18473  evl1val  18478  fveval1fvcl  18482  evl1addd  18490  evl1subd  18491  evl1muld  18492  evl1expd  18494  pf1const  18495  pf1id  18496  pf1subrg  18497  mpfpf1  18500  pf1mpf  18501  pf1ind  18504  mulgrhm2  18629  chrrhm  18661  domnchr  18662  znf1o  18681  znidomb  18691  ply1remlem  22648  ply1rem  22649  fta1glem1  22651  fta1glem2  22652  fta1g  22653  fta1blem  22654  plypf1  22694  dchrzrhmul  23638  lgsqrlem1  23733  lgsqrlem2  23734  lgsqrlem3  23735  lgseisenlem3  23743  lgseisenlem4  23744  rhmdvdsr  27962  rhmopp  27963  rhmdvd  27965  kerunit  27967  pl1cn  28091  zrhunitpreima  28112  elzrhunit  28113  qqhval2lem  28115  qqhf  28120  qqhghm  28122  qqhrhm  28123  qqhnm  28124  idomrootle  31320  elringchom  33022  rhmsscmap2  33027  rhmsscmap  33028  rhmsubcsetclem2  33030  rhmsubcrngclem2  33036  ringcsect  33039  ringcinv  33040  funcringcsetc  33043  funcringcsetcALTV2lem8  33051  funcringcsetcALTV2lem9  33052  elringchomALTV  33057  ringcinvALTV  33064  funcringcsetclem8ALTV  33074  funcringcsetclem9ALTV  33075  zrtermoringc  33078  rhmsubclem4  33097
  Copyright terms: Public domain W3C validator