MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf Structured version   Unicode version

Theorem rhmf 16750
Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rhmf.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
rhmf  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : B
--> C )

Proof of Theorem rhmf
StepHypRef Expression
1 rhmghm 16749 . 2  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
2 rhmf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rhmf.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  S
)
42, 3ghmf 15733 . 2  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  F : B
--> C )
51, 4syl 16 1  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : B
--> C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1757   -->wf 5404   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   Basecbs 14159    GrpHom cghm 15726   RingHom crh 16740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-map 7206  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-nn 10313  df-2 10370  df-ndx 14162  df-slot 14163  df-base 14164  df-sets 14165  df-plusg 14236  df-0g 14365  df-mhm 15449  df-ghm 15727  df-mgp 16568  df-rng 16582  df-ur 16584  df-rnghom 16742
This theorem is referenced by:  srngf1o  16865  mulgrhm2  17771  mulgrhm2OLD  17774  chrrhm  17806  domnchr  17807  znf1o  17828  znidomb  17838  evlslem6  21366  evlslem6OLD  21367  evlslem3  21368  evlslem1  21369  evlseu  21370  evl1val  21381  evl1addd  21387  evl1subd  21388  evl1muld  21389  evl1expd  21391  mpfconst  21392  mpfproj  21393  mpfsubrg  21394  mpfind  21398  pf1const  21399  pf1id  21400  pf1subrg  21401  mpfpf1  21404  pf1mpf  21405  pf1ind  21408  ply1remlem  21521  ply1rem  21522  facth1  21523  fta1glem1  21524  fta1glem2  21525  fta1g  21526  fta1blem  21527  plypf1  21567  dchrzrhmul  22472  lgsqrlem1  22567  lgsqrlem2  22568  lgsqrlem3  22569  lgseisenlem3  22577  lgseisenlem4  22578  rhmdvdsr  26141  rhmopp  26142  rhmdvd  26144  kerunit  26146  kerf1hrm  26147  pl1cn  26241  zrhunitpreima  26263  elzrhunit  26264  qqhval2lem  26266  qqhf  26271  qqhghm  26273  qqhrhm  26274  qqhnm  26275  idomrootle  29407
  Copyright terms: Public domain W3C validator