Theorem rhmdvdsr 27459

Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmdvdsr.x	|- X = ( Base ` R )
rhmdvdsr.m	|- .|| = ( ||r ` R )
rhmdvdsr.n	|- ./ = ( ||r ` S )

Assertion

Ref	Expression
rhmdvdsr	|- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) ./ ( F ` B ) )

Proof of Theorem rhmdvdsr

Dummy variables y c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 994	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> F e. ( R RingHom S ) )
2		simpl2 995	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A e. X )
3		rhmdvdsr.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` R )
4		eqid 2462	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
5	3, 4	rhmf 17154	. . . 4 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F : X --> ( Base ` S ) )
6	5	ffvelrnda 6014	. . 3 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` S ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) e. ( Base ` S ) )
8		simpll1 1030	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> F e. ( R RingHom S ) )
9		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> c e. X )
10	5	ffvelrnda 6014	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ c e. X ) -> ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
12	11	ralrimiva 2873	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A. c e. X ( F ` c ) e. ( Base ` S ) )
13	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> A e. X )
14		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
15		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
16	3, 14, 15	rhmmul 17155	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ c e. X /\ A e. X ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
17	8, 9, 13, 16	syl3anc 1223	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) /\ c e. X ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
18	17	ralrimiva 2873	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
19		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> A .|| B )
20		rhmdvdsr.m	. . . . . . . 8 |- .|| = ( ||r ` R )
21	3, 20, 14	dvdsr2 17075	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> ( A .|| B <-> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) )
22	21	biimpac 486	. . . . . 6 |- ( ( A .|| B /\ A e. X ) -> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B )
23	19, 2, 22	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B )
24		r19.29 2992	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) )
25		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
26		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( c ( .r ` R ) A ) = B )
27	26	fveq2d 5863	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( F ` B ) )
28	25, 27	eqtr3d 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
29	28	reximi 2927	. . . . . 6 |- ( E. c e. X ( ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
30	24, 29	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A. c e. X ( F ` ( c ( .r ` R ) A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) /\ E. c e. X ( c ( .r ` R ) A ) = B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
31	18, 23, 30	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
32		r19.29 2992	. . . 4 |- ( ( A. c e. X ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ E. c e. X ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
33	12, 31, 32	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
34		oveq1 6284	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` c ) -> ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) )
35	34	eqeq1d 2464	. . . . 5 |- ( y = ( F ` c ) -> ( ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) <-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
36	35	rspcev 3209	. . . 4 |- ( ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
37	36	rexlimivw 2947	. . 3 |- ( E. c e. X ( ( F ` c ) e. ( Base ` S ) /\ ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
38	33, 37	syl 16	. 2 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) )
39		rhmdvdsr.n	. . 3 |- ./ = ( ||r ` S )
40	4, 39, 15	dvdsr 17074	. 2 |- ( ( F ` A ) ./ ( F ` B ) <-> ( ( F ` A ) e. ( Base ` S ) /\ E. y e. ( Base ` S ) ( y ( .r ` S ) ( F ` A ) ) = ( F ` B ) ) )
41	7, 38, 40	sylanbrc 664	1 |- ( ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A .|| B ) -> ( F ` A ) ./ ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   .rcmulr 14547   ||_rcdsr 17066   RingHom crh 17140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mhm 15772  df-ghm 16055  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-dvdsr 17069  df-rnghom 17143

This theorem is referenced by:  elrhmunit  27461