Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvdsr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rhmdvdsr 28593
 Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvdsr.x
rhmdvdsr.m r
rhmdvdsr.n r
Assertion
Ref Expression
rhmdvdsr RingHom

Proof of Theorem rhmdvdsr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1012 . . 3 RingHom RingHom
2 simpl2 1013 . . 3 RingHom
3 rhmdvdsr.x . . . . 5
4 eqid 2453 . . . . 5
53, 4rhmf 17966 . . . 4 RingHom
65ffvelrnda 6027 . . 3 RingHom
71, 2, 6syl2anc 667 . 2 RingHom
8 simpll1 1048 . . . . . 6 RingHom RingHom
9 simpr 463 . . . . . 6 RingHom
105ffvelrnda 6027 . . . . . 6 RingHom
118, 9, 10syl2anc 667 . . . . 5 RingHom
1211ralrimiva 2804 . . . 4 RingHom
132adantr 467 . . . . . . 7 RingHom
14 eqid 2453 . . . . . . . 8
15 eqid 2453 . . . . . . . 8
163, 14, 15rhmmul 17967 . . . . . . 7 RingHom
178, 9, 13, 16syl3anc 1269 . . . . . 6 RingHom
1817ralrimiva 2804 . . . . 5 RingHom
19 simpr 463 . . . . . 6 RingHom
20 rhmdvdsr.m . . . . . . . 8 r
213, 20, 14dvdsr2 17887 . . . . . . 7
2221biimpac 489 . . . . . 6
2319, 2, 22syl2anc 667 . . . . 5 RingHom
24 r19.29 2927 . . . . . 6
25 simpl 459 . . . . . . . 8
26 simpr 463 . . . . . . . . 9
2726fveq2d 5874 . . . . . . . 8
2825, 27eqtr3d 2489 . . . . . . 7
2928reximi 2857 . . . . . 6
3024, 29syl 17 . . . . 5
3118, 23, 30syl2anc 667 . . . 4 RingHom
32 r19.29 2927 . . . 4
3312, 31, 32syl2anc 667 . . 3 RingHom
34 oveq1 6302 . . . . . 6
3534eqeq1d 2455 . . . . 5
3635rspcev 3152 . . . 4
3736rexlimivw 2878 . . 3
3833, 37syl 17 . 2 RingHom
39 rhmdvdsr.n . . 3 r
404, 39, 15dvdsr 17886 . 2
417, 38, 40sylanbrc 671 1 RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889  wral 2739  wrex 2740   class class class wbr 4405  cfv 5585  (class class class)co 6295  cbs 15133  cmulr 15203  rcdsr 17878   RingHom crh 17952 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-mhm 16594  df-ghm 16893  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-dvdsr 17881  df-rnghom 17955 This theorem is referenced by:  elrhmunit  28595
 Copyright terms: Public domain W3C validator