MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmco Structured version   Unicode version

Theorem rhmco 17584
Description: The composition of ring homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
rhmco  |-  ( ( F  e.  ( T RingHom  U )  /\  G  e.  ( S RingHom  T )
)  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S RingHom  U ) )

Proof of Theorem rhmco
StepHypRef Expression
1 rhmrcl2 17567 . . 3  |-  ( F  e.  ( T RingHom  U
)  ->  U  e.  Ring )
2 rhmrcl1 17566 . . 3  |-  ( G  e.  ( S RingHom  T
)  ->  S  e.  Ring )
31, 2anim12ci 565 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T RingHom  U )  /\  G  e.  ( S RingHom  T )
)  ->  ( S  e.  Ring  /\  U  e.  Ring ) )
4 rhmghm 17572 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T RingHom  U
)  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
5 rhmghm 17572 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S RingHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
6 ghmco 16488 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T 
GrpHom  U )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
74, 5, 6syl2an 475 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T RingHom  U )  /\  G  e.  ( S RingHom  T )
)  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  (mulGrp `  T )  =  (mulGrp `  T )
9 eqid 2454 . . . . 5  |-  (mulGrp `  U )  =  (mulGrp `  U )
108, 9rhmmhm 17569 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T RingHom  U
)  ->  F  e.  ( (mulGrp `  T ) MndHom  (mulGrp `  U ) ) )
11 eqid 2454 . . . . 5  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
1211, 8rhmmhm 17569 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S RingHom  T
)  ->  G  e.  ( (mulGrp `  S ) MndHom  (mulGrp `  T ) ) )
13 mhmco 16195 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( (mulGrp `  T ) MndHom  (mulGrp `  U ) )  /\  G  e.  ( (mulGrp `  S ) MndHom  (mulGrp `  T ) ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( (mulGrp `  S ) MndHom  (mulGrp `  U ) ) )
1410, 12, 13syl2an 475 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T RingHom  U )  /\  G  e.  ( S RingHom  T )
)  ->  ( F  o.  G )  e.  ( (mulGrp `  S ) MndHom  (mulGrp `  U ) ) )
157, 14jca 530 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T RingHom  U )  /\  G  e.  ( S RingHom  T )
)  ->  ( ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U )  /\  ( F  o.  G )  e.  ( (mulGrp `  S ) MndHom  (mulGrp `  U ) ) ) )
1611, 9isrhm 17568 . 2  |-  ( ( F  o.  G )  e.  ( S RingHom  U
)  <->  ( ( S  e.  Ring  /\  U  e. 
Ring )  /\  (
( F  o.  G
)  e.  ( S 
GrpHom  U )  /\  ( F  o.  G )  e.  ( (mulGrp `  S
) MndHom  (mulGrp `  U )
) ) ) )
173, 15, 16sylanbrc 662 1  |-  ( ( F  e.  ( T RingHom  U )  /\  G  e.  ( S RingHom  T )
)  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S RingHom  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823    o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   MndHom cmhm 16166    GrpHom cghm 16466  mulGrpcmgp 17339   Ringcrg 17396   RingHom crh 17559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-grp 16259  df-ghm 16467  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-rnghom 17562
This theorem is referenced by:  evls1rhm  18557  evl1rhm  18566  chrrhm  18746  rhmsubcsetclem2  33103  rhmsubcrngclem2  33109  funcringcsetcALTV2lem9  33125  ringccatidALTV  33133  funcringcsetclem9ALTV  33148  rhmsubclem4  33170  rhmsubcALTVlem4  33189
  Copyright terms: Public domain W3C validator