Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rgspnmin Structured version   Unicode version

Theorem rgspnmin 31049
Description: The ring-span is contained in all subspaces which contain all the generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rgspnval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
rgspnval.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
rgspnval.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
rgspnval.n  |-  ( ph  ->  N  =  (RingSpan `  R
) )
rgspnval.sp  |-  ( ph  ->  U  =  ( N `
 A ) )
rgspnmin.sr  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubRing `  R
) )
rgspnmin.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
Assertion
Ref Expression
rgspnmin  |-  ( ph  ->  U  C_  S )

Proof of Theorem rgspnmin
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rgspnval.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 rgspnval.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
3 rgspnval.ss . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 rgspnval.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  =  (RingSpan `  R
) )
5 rgspnval.sp . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( N `
 A ) )
61, 2, 3, 4, 5rgspnval 31046 . 2  |-  ( ph  ->  U  =  |^| { t  e.  (SubRing `  R
)  |  A  C_  t } )
7 rgspnmin.sr . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubRing `  R
) )
8 rgspnmin.ss . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
9 sseq2 3531 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  ( A  C_  t  <->  A  C_  S
) )
109elrab 3266 . . . 4  |-  ( S  e.  { t  e.  (SubRing `  R )  |  A  C_  t }  <-> 
( S  e.  (SubRing `  R )  /\  A  C_  S ) )
117, 8, 10sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { t  e.  (SubRing `  R
)  |  A  C_  t } )
12 intss1 4303 . . 3  |-  ( S  e.  { t  e.  (SubRing `  R )  |  A  C_  t }  ->  |^| { t  e.  (SubRing `  R )  |  A  C_  t } 
C_  S )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  |^| { t  e.  (SubRing `  R )  |  A  C_  t } 
C_  S )
146, 13eqsstrd 3543 1  |-  ( ph  ->  U  C_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    C_ wss 3481   |^|cint 4288   ` cfv 5594   Basecbs 14507   Ringcrg 17070  SubRingcsubrg 17296  RingSpancrgspn 17297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-rgspn 17299
This theorem is referenced by:  rgspnid  31050  rngunsnply  31051
  Copyright terms: Public domain W3C validator