MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0ssre Structured version   Unicode version

Theorem rge0ssre 11638
Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
rge0ssre  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR

Proof of Theorem rge0ssre
StepHypRef Expression
1 elrege0 11637 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
21simplbi 460 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
32ssriv 3513 1  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767    C_ wss 3481   class class class wbr 4452  (class class class)co 6294   RRcr 9501   0cc0 9502   +oocpnf 9635    <_ cle 9639   [,)cico 11541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-ico 11545
This theorem is referenced by:  rge0srg  18334  xrge0adddir  27474  fsumrp0cl  27477  xrge0slmod  27627  lmlimxrge0  27723  rge0scvg  27724  lmdvg  27728  esumpfinval  27874  esumpfinvalf  27875  sibfof  28075  sitgclg  28077  fouriersw  31823
  Copyright terms: Public domain W3C validator