MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0ssre Structured version   Unicode version

Theorem rge0ssre 11632
Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
rge0ssre  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR

Proof of Theorem rge0ssre
StepHypRef Expression
1 elrege0 11631 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
21simplbi 460 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
32ssriv 3490 1  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1802    C_ wss 3458   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   RRcr 9489   0cc0 9490   +oocpnf 9623    <_ cle 9627   [,)cico 11535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-ico 11539
This theorem is referenced by:  fsumge0  13583  abvf  17340  rege0subm  18342  rge0srg  18355  icopnfhmeo  21309  iccpnfcnv  21310  cphsqrtcl  21497  ovollb2lem  21765  ovollb2  21766  ovolunlem1a  21773  ovolunlem1  21774  ovoliunlem1  21779  ovolicc1  21793  ovolicc2lem4  21797  ovolre  21802  ioombl1lem2  21835  ioombl1lem4  21837  uniioombllem1  21856  uniioombllem2  21858  uniioombllem3  21860  uniioombllem6  21863  0plef  21945  mbfi1fseqlem3  21990  mbfi1fseqlem4  21991  mbfi1fseqlem5  21992  itg2mulclem  22019  itg2mulc  22020  itg2monolem1  22023  itg2mono  22026  itg2i1fseq  22028  itg2gt0  22033  itg2cnlem1  22034  itg2cnlem2  22035  cxpcn3  22987  rlimcnp  23160  efrlim  23164  jensenlem1  23181  jensenlem2  23182  jensen  23183  amgm  23185  axcontlem10  24141  xrge0adddir  27548  fsumrp0cl  27551  xrge0slmod  27700  xrge0iifcnv  27781  lmlimxrge0  27796  rge0scvg  27797  lmdvg  27801  esumfsupre  27943  esumpfinvallem  27946  esumpfinval  27947  esumpfinvalf  27948  esumpcvgval  27950  esumcvg  27958  sibfof  28148  sitgclg  28150  itg2addnclem2  30035  itg2addnclem3  30036  itg2gt0cn  30038  ftc1anclem3  30060  areacirclem2  30076  fouriersw  31899
  Copyright terms: Public domain W3C validator