Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre3 Structured version   Unicode version

Theorem rfcnpre3 31569
 Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater or equal than a given real B is a closed set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre3.2
rfcnpre3.3
rfcnpre3.4
rfcnpre3.5
rfcnpre3.6
rfcnpre3.8
Assertion
Ref Expression
rfcnpre3
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem rfcnpre3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre3.3 . . . . . . . 8
2 rfcnpre3.4 . . . . . . . 8
3 eqid 2457 . . . . . . . 8
4 rfcnpre3.8 . . . . . . . 8
51, 2, 3, 4fcnre 31561 . . . . . . 7
6 ffn 5737 . . . . . . 7
7 elpreima 6008 . . . . . . 7
85, 6, 73syl 20 . . . . . 6
9 rfcnpre3.6 . . . . . . . . . . 11
109rexrd 9660 . . . . . . . . . 10
1110adantr 465 . . . . . . . . 9
12 pnfxr 11346 . . . . . . . . 9
13 elico1 11597 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13sylancl 662 . . . . . . . 8
15 simpr2 1003 . . . . . . . . 9
165fnvinran 31550 . . . . . . . . . . . 12
1716rexrd 9660 . . . . . . . . . . 11
1817adantr 465 . . . . . . . . . 10
19 simpr 461 . . . . . . . . . 10
2016adantr 465 . . . . . . . . . . 11
21 ltpnf 11356 . . . . . . . . . . 11
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10
2318, 19, 223jca 1176 . . . . . . . . 9
2415, 23impbida 832 . . . . . . . 8
2514, 24bitrd 253 . . . . . . 7
2625pm5.32da 641 . . . . . 6
278, 26bitrd 253 . . . . 5
28 nfcv 2619 . . . . . 6
29 nfcv 2619 . . . . . 6
30 nfcv 2619 . . . . . . 7
31 nfcv 2619 . . . . . . 7
32 rfcnpre3.2 . . . . . . . 8
3332, 28nffv 5879 . . . . . . 7
3430, 31, 33nfbr 4500 . . . . . 6
35 fveq2 5872 . . . . . . 7
3635breq2d 4468 . . . . . 6
3728, 29, 34, 36elrabf 3255 . . . . 5
3827, 37syl6bbr 263 . . . 4
3938eqrdv 2454 . . 3
40 rfcnpre3.5 . . 3
4139, 40syl6eqr 2516 . 2
42 icopnfcld 21400 . . . . 5
439, 42syl 16 . . . 4
441fveq2i 5875 . . . 4
4543, 44syl6eleqr 2556 . . 3
46 cnclima 19895 . . 3
474, 45, 46syl2anc 661 . 2
4841, 47eqeltrrd 2546 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wnfc 2605  crab 2811  cuni 4251   class class class wbr 4456  ccnv 5007   crn 5009  cima 5011   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508   cpnf 9642  cxr 9644   clt 9645   cle 9646  cioo 11554  cico 11556  ctg 14854  ccld 19643   ccn 19851 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-topgen 14860  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cld 19646  df-cn 19854 This theorem is referenced by:  stoweidlem59  32002
 Copyright terms: Public domain W3C validator