Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Unicode version

Theorem rfcnpre2 31308
 Description: If is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real , is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1
rfcnpre2.2
rfcnpre2.3
rfcnpre2.4
rfcnpre2.5
rfcnpre2.6
rfcnpre2.7
rfcnpre2.8
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . . 5
2 rfcnpre2.4 . . . . . . . . . 10
3 rfcnpre2.5 . . . . . . . . . 10
4 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
5 rfcnpre2.8 . . . . . . . . . 10
62, 3, 4, 5fcnre 31302 . . . . . . . . 9
76fnvinran 31291 . . . . . . . 8
8 rfcnpre2.7 . . . . . . . . . 10
9 elioomnf 11631 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9
1110baibd 907 . . . . . . . 8
127, 11syldan 470 . . . . . . 7
1312pm5.32da 641 . . . . . 6
14 ffn 5737 . . . . . . 7
15 elpreima 6008 . . . . . . 7
166, 14, 153syl 20 . . . . . 6
17 rabid 3043 . . . . . . 7
1817a1i 11 . . . . . 6
1913, 16, 183bitr4d 285 . . . . 5
201, 19alrimi 1825 . . . 4
21 rfcnpre2.2 . . . . . . 7
2221nfcnv 5187 . . . . . 6
23 nfcv 2629 . . . . . . 7
24 nfcv 2629 . . . . . . 7
25 rfcnpre2.1 . . . . . . 7
2623, 24, 25nfov 6318 . . . . . 6
2722, 26nfima 5351 . . . . 5
28 nfrab1 3047 . . . . 5
2927, 28cleqf 2656 . . . 4
3020, 29sylibr 212 . . 3
31 rfcnpre2.6 . . 3
3230, 31syl6eqr 2526 . 2
33 iooretop 21141 . . . . 5
3433a1i 11 . . . 4
3534, 2syl6eleqr 2566 . . 3
36 cnima 19634 . . 3
375, 35, 36syl2anc 661 . 2
3832, 37eqeltrrd 2556 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369  wal 1377   wceq 1379  wnf 1599   wcel 1767  wnfc 2615  crab 2821  cuni 4251   class class class wbr 4453  ccnv 5004   crn 5006  cima 5008   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cr 9503   cmnf 9638  cxr 9639   clt 9640  cioo 11541  ctg 14710   ccn 19593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-ioo 11545  df-topgen 14716  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cn 19596 This theorem is referenced by:  stoweidlem52  31675
 Copyright terms: Public domain W3C validator