Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Unicode version

Theorem rfcnpre2 31308
Description: If  F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real  B, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1  |-  F/_ x B
rfcnpre2.2  |-  F/_ x F
rfcnpre2.3  |-  F/ x ph
rfcnpre2.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnpre2.5  |-  X  = 
U. J
rfcnpre2.6  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
rfcnpre2.7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
rfcnpre2.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2  |-  ( ph  ->  A  e.  J )

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . . 5  |-  F/ x ph
2 rfcnpre2.4 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 rfcnpre2.5 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
4 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
5 rfcnpre2.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
62, 3, 4, 5fcnre 31302 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
76fnvinran 31291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 rfcnpre2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 elioomnf 11631 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( -oo (,) B )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
B ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  x )  e.  ( -oo (,) B )  <-> 
( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `  x
)  <  B )
) )
1110baibd 907 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( -oo (,) B
)  <->  ( F `  x )  <  B
) )
127, 11syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( -oo (,) B )  <->  ( F `  x )  <  B
) )
1312pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( F `
 x )  e.  ( -oo (,) B
) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
14 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> RR  ->  F  Fn  X )
15 elpreima 6008 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " ( -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  ( -oo (,) B
) ) ) )
166, 14, 153syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " ( -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  ( -oo (,) B
) ) ) )
17 rabid 3043 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  X  |  ( F `
 x )  < 
B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) )
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
1913, 16, 183bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " ( -oo (,) B ) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
201, 19alrimi 1825 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  ( `' F " ( -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
21 rfcnpre2.2 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
2221nfcnv 5187 . . . . . 6  |-  F/_ x `' F
23 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x -oo
24 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x (,)
25 rfcnpre2.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x B
2623, 24, 25nfov 6318 . . . . . 6  |-  F/_ x
( -oo (,) B )
2722, 26nfima 5351 . . . . 5  |-  F/_ x
( `' F "
( -oo (,) B ) )
28 nfrab1 3047 . . . . 5  |-  F/_ x { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
2927, 28cleqf 2656 . . . 4  |-  ( ( `' F " ( -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } 
<-> 
A. x ( x  e.  ( `' F " ( -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
3020, 29sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } )
31 rfcnpre2.6 . . 3  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
3230, 31syl6eqr 2526 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) B ) )  =  A )
33 iooretop 21141 . . . . 5  |-  ( -oo (,) B )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3534, 2syl6eleqr 2566 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) B
)  e.  K )
36 cnima 19634 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( -oo (,) B )  e.  K )  -> 
( `' F "
( -oo (,) B ) )  e.  J )
375, 35, 36syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) B ) )  e.  J )
3832, 37eqeltrrd 2556 1  |-  ( ph  ->  A  e.  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   {crab 2821   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   `'ccnv 5004   ran crn 5006   "cima 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640   (,)cioo 11541   topGenctg 14710    Cn ccn 19593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-ioo 11545  df-topgen 14716  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cn 19596
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  31675
  Copyright terms: Public domain W3C validator