Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre2 Structured version   Unicode version

Theorem rfcnpre2 29751
Description: If  F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values smaller than a given extended real  B, is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre2.1  |-  F/_ x B
rfcnpre2.2  |-  F/_ x F
rfcnpre2.3  |-  F/ x ph
rfcnpre2.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnpre2.5  |-  X  = 
U. J
rfcnpre2.6  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
rfcnpre2.7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
rfcnpre2.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
rfcnpre2  |-  ( ph  ->  A  e.  J )

Proof of Theorem rfcnpre2
StepHypRef Expression
1 rfcnpre2.3 . . . . 5  |-  F/ x ph
2 rfcnpre2.4 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 rfcnpre2.5 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
4 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  K
)
5 rfcnpre2.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
62, 3, 4, 5fcnre 29745 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
76fnvinran 29734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 rfcnpre2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 elioomnf 11383 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( -oo (,) B )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
B ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  x )  e.  ( -oo (,) B )  <-> 
( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `  x
)  <  B )
) )
1110baibd 900 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( -oo (,) B
)  <->  ( F `  x )  <  B
) )
127, 11syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( -oo (,) B )  <->  ( F `  x )  <  B
) )
1312pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( F `
 x )  e.  ( -oo (,) B
) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
14 ffn 5558 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> RR  ->  F  Fn  X )
15 elpreima 5822 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " ( -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  ( -oo (,) B
) ) ) )
166, 14, 153syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " ( -oo (,) B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  e.  ( -oo (,) B
) ) ) )
17 rabid 2896 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { x  e.  X  |  ( F `
 x )  < 
B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) )
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  <  B ) ) )
1913, 16, 183bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " ( -oo (,) B ) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
201, 19alrimi 1811 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  ( `' F " ( -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
21 rfcnpre2.2 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
2221nfcnv 5017 . . . . . 6  |-  F/_ x `' F
23 nfcv 2578 . . . . . . 7  |-  F/_ x -oo
24 nfcv 2578 . . . . . . 7  |-  F/_ x (,)
25 rfcnpre2.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x B
2623, 24, 25nfov 6113 . . . . . 6  |-  F/_ x
( -oo (,) B )
2722, 26nfima 5176 . . . . 5  |-  F/_ x
( `' F "
( -oo (,) B ) )
28 nfrab1 2900 . . . . 5  |-  F/_ x { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
2927, 28cleqf 2602 . . . 4  |-  ( ( `' F " ( -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } 
<-> 
A. x ( x  e.  ( `' F " ( -oo (,) B
) )  <->  x  e.  { x  e.  X  | 
( F `  x
)  <  B }
) )
3020, 29sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) B ) )  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B } )
31 rfcnpre2.6 . . 3  |-  A  =  { x  e.  X  |  ( F `  x )  <  B }
3230, 31syl6eqr 2492 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) B ) )  =  A )
33 iooretop 20344 . . . . 5  |-  ( -oo (,) B )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3534, 2syl6eleqr 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) B
)  e.  K )
36 cnima 18868 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( -oo (,) B )  e.  K )  -> 
( `' F "
( -oo (,) B ) )  e.  J )
375, 35, 36syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( -oo (,) B ) )  e.  J )
3832, 37eqeltrrd 2517 1  |-  ( ph  ->  A  e.  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2565   {crab 2718   U.cuni 4090   class class class wbr 4291   `'ccnv 4838   ran crn 4840   "cima 4842    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   -oocmnf 9415   RR*cxr 9416    < clt 9417   (,)cioo 11299   topGenctg 14375    Cn ccn 18827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-q 10953  df-ioo 11303  df-topgen 14381  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-cn 18830
This theorem is referenced by:  stoweidlem52  29845
  Copyright terms: Public domain W3C validator