Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rfcnpre1 37340
 Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre1.1
rfcnpre1.2
rfcnpre1.3
rfcnpre1.4
rfcnpre1.5
rfcnpre1.6
rfcnpre1.7
rfcnpre1.8
Assertion
Ref Expression
rfcnpre1

Proof of Theorem rfcnpre1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre1.3 . . . 4
2 rfcnpre1.2 . . . . . 6
32nfcnv 5013 . . . . 5
4 rfcnpre1.1 . . . . . 6
5 nfcv 2592 . . . . . 6
6 nfcv 2592 . . . . . 6
74, 5, 6nfov 6316 . . . . 5
83, 7nfima 5176 . . . 4
9 nfrab1 2971 . . . 4
10 rfcnpre1.8 . . . . . . . . . 10
11 cntop1 20256 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
13 rfcnpre1.5 . . . . . . . . . . . . 13
1412, 13jctir 541 . . . . . . . . . . . 12
15 istopon 19940 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
1614, 15sylibr 216 . . . . . . . . . . 11 TopOn
17 rfcnpre1.4 . . . . . . . . . . . 12
18 retopon 21784 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
1917, 18eqeltri 2525 . . . . . . . . . . 11 TopOn
20 iscn 20251 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
2116, 19, 20sylancl 668 . . . . . . . . . 10
2210, 21mpbid 214 . . . . . . . . 9
2322simpld 461 . . . . . . . 8
2423fnvinran 37335 . . . . . . 7
25 rfcnpre1.7 . . . . . . . . 9
26 elioopnf 11728 . . . . . . . . 9
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8
2827baibd 920 . . . . . . 7
2924, 28syldan 473 . . . . . 6
3029pm5.32da 647 . . . . 5
31 ffn 5728 . . . . . 6
32 elpreima 6002 . . . . . 6
3323, 31, 323syl 18 . . . . 5
34 rabid 2967 . . . . . 6
3534a1i 11 . . . . 5
3630, 33, 353bitr4d 289 . . . 4
371, 8, 9, 36eqrd 3450 . . 3
38 rfcnpre1.6 . . 3
3937, 38syl6eqr 2503 . 2
40 iooretop 21786 . . . 4
4140, 17eleqtrri 2528 . . 3
42 cnima 20281 . . 3
4310, 41, 42sylancl 668 . 2
4439, 43eqeltrrd 2530 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444  wnf 1667   wcel 1887  wnfc 2579  wral 2737  crab 2741  cuni 4198   class class class wbr 4402  ccnv 4833   crn 4835  cima 4837   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cr 9538   cpnf 9672  cxr 9674   clt 9675  cioo 11635  ctg 15336  ctop 19917  TopOnctopon 19918   ccn 20240 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-ioo 11639  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243 This theorem is referenced by:  stoweidlem46  37907
 Copyright terms: Public domain W3C validator