Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rfcnpre1 37340
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre1.1  |-  F/_ x B
rfcnpre1.2  |-  F/_ x F
rfcnpre1.3  |-  F/ x ph
rfcnpre1.4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnpre1.5  |-  X  = 
U. J
rfcnpre1.6  |-  A  =  { x  e.  X  |  B  <  ( F `
 x ) }
rfcnpre1.7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
rfcnpre1.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
rfcnpre1  |-  ( ph  ->  A  e.  J )

Proof of Theorem rfcnpre1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre1.3 . . . 4  |-  F/ x ph
2 rfcnpre1.2 . . . . . 6  |-  F/_ x F
32nfcnv 5013 . . . . 5  |-  F/_ x `' F
4 rfcnpre1.1 . . . . . 6  |-  F/_ x B
5 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ x (,)
6 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ x +oo
74, 5, 6nfov 6316 . . . . 5  |-  F/_ x
( B (,) +oo )
83, 7nfima 5176 . . . 4  |-  F/_ x
( `' F "
( B (,) +oo ) )
9 nfrab1 2971 . . . 4  |-  F/_ x { x  e.  X  |  B  <  ( F `
 x ) }
10 rfcnpre1.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
11 cntop1 20256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
13 rfcnpre1.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
1412, 13jctir 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  X  =  U. J
) )
15 istopon 19940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
1614, 15sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
17 rfcnpre1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
18 retopon 21784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
1917, 18eqeltri 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
20 iscn 20251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  RR )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> RR  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
2116, 19, 20sylancl 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> RR  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
2210, 21mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F : X --> RR  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J
) )
2322simpld 461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2423fnvinran 37335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
25 rfcnpre1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
26 elioopnf 11728 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( B (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  B  < 
( F `  x
) ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  x )  e.  ( B (,) +oo )  <->  ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  B  <  ( F `  x ) ) ) )
2827baibd 920 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( B (,) +oo ) 
<->  B  <  ( F `
 x ) ) )
2924, 28syldan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( B (,) +oo )  <->  B  <  ( F `  x ) ) )
3029pm5.32da 647 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( F `
 x )  e.  ( B (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  X  /\  B  < 
( F `  x
) ) ) )
31 ffn 5728 . . . . . 6  |-  ( F : X --> RR  ->  F  Fn  X )
32 elpreima 6002 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " ( B (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( F `  x
)  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
3323, 31, 323syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " ( B (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( F `  x
)  e.  ( B (,) +oo ) ) ) )
34 rabid 2967 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  X  |  B  < 
( F `  x
) }  <->  ( x  e.  X  /\  B  < 
( F `  x
) ) )
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
x  e.  X  |  B  <  ( F `  x ) }  <->  ( x  e.  X  /\  B  < 
( F `  x
) ) ) )
3630, 33, 353bitr4d 289 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' F " ( B (,) +oo ) )  <-> 
x  e.  { x  e.  X  |  B  <  ( F `  x
) } ) )
371, 8, 9, 36eqrd 3450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( B (,) +oo ) )  =  {
x  e.  X  |  B  <  ( F `  x ) } )
38 rfcnpre1.6 . . 3  |-  A  =  { x  e.  X  |  B  <  ( F `
 x ) }
3937, 38syl6eqr 2503 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( B (,) +oo ) )  =  A )
40 iooretop 21786 . . . 4  |-  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4140, 17eleqtrri 2528 . . 3  |-  ( B (,) +oo )  e.  K
42 cnima 20281 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( B (,) +oo )  e.  K )  ->  ( `' F " ( B (,) +oo ) )  e.  J )
4310, 41, 42sylancl 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( B (,) +oo ) )  e.  J
)
4439, 43eqeltrrd 2530 1  |-  ( ph  ->  A  e.  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   F/wnf 1667    e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   A.wral 2737   {crab 2741   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   ran crn 4835   "cima 4837    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675   (,)cioo 11635   topGenctg 15336   Topctop 19917  TopOnctopon 19918    Cn ccn 20240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-ioo 11639  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  37907
  Copyright terms: Public domain W3C validator