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Theorem rfcnnnub 29898
Description: Given a real continuous function  F defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnnnub.1  |-  F/_ t F
rfcnnnub.2  |-  F/ t
ph
rfcnnnub.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnnnub.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
rfcnnnub.5  |-  T  = 
U. J
rfcnnnub.6  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
rfcnnnub.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
rfcnnnub.8  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
Assertion
Ref Expression
rfcnnnub  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
Distinct variable groups:    t, n, T    n, F    t, J    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t, n)    C( t, n)    F( t)    J( n)    K( n)

Proof of Theorem rfcnnnub
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2613 . . . . . . . 8  |-  F/_ s F
2 rfcnnnub.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ t F
3 nfcv 2613 . . . . . . . 8  |-  F/_ s T
4 nfcv 2613 . . . . . . . 8  |-  F/_ t T
5 nfv 1674 . . . . . . . 8  |-  F/ s
ph
6 rfcnnnub.2 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
7 rfcnnnub.5 . . . . . . . 8  |-  T  = 
U. J
8 rfcnnnub.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
9 rfcnnnub.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
10 rfcnnnub.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
11 rfcnnnub.7 . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1210, 11syl6eleq 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
13 rfcnnnub.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13evthf 29889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )
15 df-rex 2801 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  <->  E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
1614, 15sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
178, 7, 11, 10fcnre 29887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
1817ffvelrnda 5944 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
1918ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  ->  ( F `  s
)  e.  RR ) )
2019anim1d 564 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  ->  ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) ) )
2120eximdv 1677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  ->  E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) ) )
2216, 21mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. s ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
2317ffvelrnda 5944 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
2423ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t
)  e.  RR ) )
256, 24ralrimi 2815 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
26 19.41v 1929 . . . . 5  |-  ( E. s ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
2722, 25, 26sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. s ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
28 df-3an 967 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  ( (
( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
2928exbii 1635 . . . 4  |-  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  E. s
( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
3027, 29sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
31 arch 10679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n
)
32313ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n
)
33 df-rex 2801 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n  <->  E. n ( n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )
3432, 33sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
35 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  n  e.  NN )
36 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
s
372, 36nffv 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
( F `  s
)
3837nfel1 2628 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( F `  s
)  e.  RR
39 nfra1 2877 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
40 nfra1 2877 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR
4138, 39, 40nf3an 1865 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
42 nfv 1674 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  n  e.  NN
43 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t  <
44 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
n
4537, 43, 44nfbr 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( F `  s
)  <  n
4642, 45nfan 1863 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
4741, 46nfan 1863 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
48 simpll3 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
50 rsp 2886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `
 t )  e.  RR ) )
5148, 49, 50sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
52 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
53 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  n  e.  NN )
5453nnred 10440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  n  e.  RR )
55 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )
5655r19.21bi 2912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) )
57 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  s )  <  n )
5851, 52, 54, 56, 57lelttrd 9632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <  n )
5958ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  <  n
) )
6047, 59ralrimi 2815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
6135, 60jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( n  e.  NN  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
) )
6261ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )  ->  ( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) ) )
6362eximdv 1677 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  ( E. n ( n  e.  NN  /\  ( F `
 s )  < 
n )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) ) )
6434, 63mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) )
65 df-rex 2801 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n  <->  E. n ( n  e.  NN  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) )
6664, 65sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
)
6766eximi 1626 . . 3  |-  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. s E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
)
6830, 67syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. s E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
)
69 19.9v 1719 . 2  |-  ( E. s E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n  <->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
7068, 69sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587   F/wnf 1590    e. wcel 1758   F/_wnfc 2599    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   (/)c0 3737   U.cuni 4191   class class class wbr 4392   ran crn 4941   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384    < clt 9521    <_ cle 9522   NNcn 10425   (,)cioo 11403   topGenctg 14480    Cn ccn 18946   Compccmp 19107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015
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