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Theorem rfcnnnub 29600
Description: Given a real continuous function  F defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnnnub.1  |-  F/_ t F
rfcnnnub.2  |-  F/ t
ph
rfcnnnub.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnnnub.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
rfcnnnub.5  |-  T  = 
U. J
rfcnnnub.6  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
rfcnnnub.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
rfcnnnub.8  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
Assertion
Ref Expression
rfcnnnub  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
Distinct variable groups:    t, n, T    n, F    t, J    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t, n)    C( t, n)    F( t)    J( n)    K( n)

Proof of Theorem rfcnnnub
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ s F
2 rfcnnnub.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ t F
3 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ s T
4 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ t T
5 nfv 1672 . . . . . . . 8  |-  F/ s
ph
6 rfcnnnub.2 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
7 rfcnnnub.5 . . . . . . . 8  |-  T  = 
U. J
8 rfcnnnub.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
9 rfcnnnub.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
10 rfcnnnub.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
11 rfcnnnub.7 . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1210, 11syl6eleq 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
13 rfcnnnub.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13evthf 29591 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )
15 df-rex 2711 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  <->  E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
1614, 15sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
178, 7, 11, 10fcnre 29589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
1817ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
1918ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  ->  ( F `  s
)  e.  RR ) )
2019anim1d 559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  ->  ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) ) )
2120eximdv 1675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  ->  E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) ) )
2216, 21mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. s ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
2317ffvelrnda 5831 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
2423ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t
)  e.  RR ) )
256, 24ralrimi 2787 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
26 19.41v 1918 . . . . 5  |-  ( E. s ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
2722, 25, 26sylanbrc 657 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. s ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
28 df-3an 960 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  ( (
( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
2928exbii 1634 . . . 4  |-  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  E. s
( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
3027, 29sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
31 arch 10563 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n
)
32313ad2ant1 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n
)
33 df-rex 2711 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n  <->  E. n ( n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )
3432, 33sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
35 simprl 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  n  e.  NN )
36 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
s
372, 36nffv 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
( F `  s
)
3837nfel1 2579 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( F `  s
)  e.  RR
39 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
40 nfra1 2756 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR
4138, 39, 40nf3an 1861 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
42 nfv 1672 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  n  e.  NN
43 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t  <
44 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
n
4537, 43, 44nfbr 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( F `  s
)  <  n
4642, 45nfan 1859 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
4741, 46nfan 1859 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
48 simpll3 1022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
49 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
50 rsp 2766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `
 t )  e.  RR ) )
5148, 49, 50sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
52 simpll1 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
53 simplrl 752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  n  e.  NN )
5453nnred 10324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  n  e.  RR )
55 simpl2 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )
5655r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) )
57 simplrr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  s )  <  n )
5851, 52, 54, 56, 57lelttrd 9516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <  n )
5958ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  <  n
) )
6047, 59ralrimi 2787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
6135, 60jca 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( n  e.  NN  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
) )
6261ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )  ->  ( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) ) )
6362eximdv 1675 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  ( E. n ( n  e.  NN  /\  ( F `
 s )  < 
n )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) ) )
6434, 63mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) )
65 df-rex 2711 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n  <->  E. n ( n  e.  NN  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) )
6664, 65sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
)
6766eximi 1626 . . 3  |-  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. s E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
)
6830, 67syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. s E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
)
69 19.9v 1716 . 2  |-  ( E. s E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n  <->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
7068, 69sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589   F/wnf 1592    e. wcel 1755   F/_wnfc 2556    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   (/)c0 3625   U.cuni 4079   class class class wbr 4280   ran crn 4828   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9268    < clt 9405    <_ cle 9406   NNcn 10309   (,)cioo 11287   topGenctg 14358    Cn ccn 18669   Compccmp 18830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738
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