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Theorem rfcnnnub 30808
Description: Given a real continuous function  F defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnnnub.1  |-  F/_ t F
rfcnnnub.2  |-  F/ t
ph
rfcnnnub.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
rfcnnnub.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
rfcnnnub.5  |-  T  = 
U. J
rfcnnnub.6  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
rfcnnnub.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
rfcnnnub.8  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
Assertion
Ref Expression
rfcnnnub  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
Distinct variable groups:    t, n, T    n, F    t, J    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t, n)    C( t, n)    F( t)    J( n)    K( n)

Proof of Theorem rfcnnnub
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2622 . . . . . . . 8  |-  F/_ s F
2 rfcnnnub.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ t F
3 nfcv 2622 . . . . . . . 8  |-  F/_ s T
4 nfcv 2622 . . . . . . . 8  |-  F/_ t T
5 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ s
ph
6 rfcnnnub.2 . . . . . . . 8  |-  F/ t
ph
7 rfcnnnub.5 . . . . . . . 8  |-  T  = 
U. J
8 rfcnnnub.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
9 rfcnnnub.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
10 rfcnnnub.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
11 rfcnnnub.7 . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
1210, 11syl6eleq 2558 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
13 rfcnnnub.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13evthf 30799 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )
15 df-rex 2813 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  T  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  <->  E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
1614, 15sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
178, 7, 11, 10fcnre 30797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
1817ffvelrnda 6012 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
1918ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  T  ->  ( F `  s
)  e.  RR ) )
2019anim1d 564 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  ->  ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) ) )
2120eximdv 1681 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  T  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  ->  E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
) ) )
2216, 21mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. s ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) ) )
2317ffvelrnda 6012 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
2423ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t
)  e.  RR ) )
256, 24ralrimi 2857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
26 19.41v 1938 . . . . 5  |-  ( E. s ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
2722, 25, 26sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. s ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
28 df-3an 970 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  ( (
( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
2928exbii 1639 . . . 4  |-  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  <->  E. s
( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
3027, 29sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  E. s ( ( F `  s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s
)  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR ) )
31 arch 10781 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n
)
32313ad2ant1 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n
)
33 df-rex 2813 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  ( F `  s )  <  n  <->  E. n ( n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )
3432, 33sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
35 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  n  e.  NN )
36 nfcv 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
s
372, 36nffv 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
( F `  s
)
3837nfel1 2638 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( F `  s
)  e.  RR
39 nfra1 2838 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )
40 nfra1 2838 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR
4138, 39, 40nf3an 1872 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
42 nfv 1678 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t  n  e.  NN
43 nfcv 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t  <
44 nfcv 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
n
4537, 43, 44nfbr 4484 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ t ( F `  s
)  <  n
4642, 45nfan 1870 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
4741, 46nfan 1870 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)
48 simpll3 1032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
50 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `
 t )  e.  RR ) )
5148, 49, 50sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
52 simpll1 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
53 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  n  e.  NN )
5453nnred 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  n  e.  RR )
55 simpl2 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s ) )
5655r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <_  ( F `  s
) )
57 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  s )  <  n )
5851, 52, 54, 56, 57lelttrd 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )
)  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  <  n )
5958ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  <  n
) )
6047, 59ralrimi 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
6135, 60jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  s )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( F `  s )  <  n ) )  ->  ( n  e.  NN  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
) )
6261ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  /\  ( F `  s
)  <  n )  ->  ( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) ) )
6362eximdv 1681 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  ( E. n ( n  e.  NN  /\  ( F `
 s )  < 
n )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) ) )
6434, 63mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n
( n  e.  NN  /\ 
A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) )
65 df-rex 2813 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n  <->  E. n ( n  e.  NN  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n ) )
6664, 65sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( F `  s
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
)
6766eximi 1630 . . 3  |-  ( E. s ( ( F `
 s )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  <_  ( F `  s )  /\  A. t  e.  T  ( F `  t )  e.  RR )  ->  E. s E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
)
6830, 67syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. s E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n
)
69 19.9v 1723 . 2  |-  ( E. s E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n  <->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
7068, 69sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. t  e.  T  ( F `  t )  <  n )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591   F/wnf 1594    e. wcel 1762   F/_wnfc 2608    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   (/)c0 3778   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10525   (,)cioo 11518   topGenctg 14682    Cn ccn 19484   Compccmp 19645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553
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