Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnnnub Structured version   Unicode version

Theorem rfcnnnub 29898
 Description: Given a real continuous function defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnnnub.1
rfcnnnub.2
rfcnnnub.3
rfcnnnub.4
rfcnnnub.5
rfcnnnub.6
rfcnnnub.7
rfcnnnub.8
Assertion
Ref Expression
rfcnnnub
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem rfcnnnub
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2613 . . . . . . . 8
2 rfcnnnub.1 . . . . . . . 8
3 nfcv 2613 . . . . . . . 8
4 nfcv 2613 . . . . . . . 8
5 nfv 1674 . . . . . . . 8
6 rfcnnnub.2 . . . . . . . 8
7 rfcnnnub.5 . . . . . . . 8
8 rfcnnnub.3 . . . . . . . 8
9 rfcnnnub.4 . . . . . . . 8
10 rfcnnnub.8 . . . . . . . . 9
11 rfcnnnub.7 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eleq 2549 . . . . . . . 8
13 rfcnnnub.6 . . . . . . . 8
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13evthf 29889 . . . . . . 7
15 df-rex 2801 . . . . . . 7
1614, 15sylib 196 . . . . . 6
178, 7, 11, 10fcnre 29887 . . . . . . . . . 10
1817ffvelrnda 5944 . . . . . . . . 9
1918ex 434 . . . . . . . 8
2019anim1d 564 . . . . . . 7
2120eximdv 1677 . . . . . 6
2216, 21mpd 15 . . . . 5
2317ffvelrnda 5944 . . . . . . 7
2423ex 434 . . . . . 6
256, 24ralrimi 2815 . . . . 5
26 19.41v 1929 . . . . 5
2722, 25, 26sylanbrc 664 . . . 4
28 df-3an 967 . . . . 5
2928exbii 1635 . . . 4
3027, 29sylibr 212 . . 3
31 arch 10679 . . . . . . . 8
32313ad2ant1 1009 . . . . . . 7
33 df-rex 2801 . . . . . . 7
3432, 33sylib 196 . . . . . 6
35 simprl 755 . . . . . . . . 9
36 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . . 14
372, 36nffv 5798 . . . . . . . . . . . . 13
3837nfel1 2628 . . . . . . . . . . . 12
39 nfra1 2877 . . . . . . . . . . . 12
40 nfra1 2877 . . . . . . . . . . . 12
4138, 39, 40nf3an 1865 . . . . . . . . . . 11
42 nfv 1674 . . . . . . . . . . . 12
43 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13
44 nfcv 2613 . . . . . . . . . . . . 13
4537, 43, 44nfbr 4436 . . . . . . . . . . . 12
4642, 45nfan 1863 . . . . . . . . . . 11
4741, 46nfan 1863 . . . . . . . . . 10
48 simpll3 1029 . . . . . . . . . . . . 13
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
50 rsp 2886 . . . . . . . . . . . . 13
5148, 49, 50sylc 60 . . . . . . . . . . . 12
52 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . 12
53 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13
5453nnred 10440 . . . . . . . . . . . 12
55 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . 13
5655r19.21bi 2912 . . . . . . . . . . . 12
57 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12
5851, 52, 54, 56, 57lelttrd 9632 . . . . . . . . . . 11
5958ex 434 . . . . . . . . . 10
6047, 59ralrimi 2815 . . . . . . . . 9
6135, 60jca 532 . . . . . . . 8
6261ex 434 . . . . . . 7
6362eximdv 1677 . . . . . 6
6434, 63mpd 15 . . . . 5
65 df-rex 2801 . . . . 5
6664, 65sylibr 212 . . . 4
6766eximi 1626 . . 3
6830, 67syl 16 . 2
69 19.9v 1719 . 2
7068, 69sylib 196 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370  wex 1587  wnf 1590   wcel 1758  wnfc 2599   wne 2644  wral 2795  wrex 2796  c0 3737  cuni 4191   class class class wbr 4392   crn 4941  cfv 5518  (class class class)co 6192  cr 9384   clt 9521   cle 9522  cn 10425  cioo 11403  ctg 14480   ccn 18946  ccmp 19107 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-mulf 9465 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015 This theorem is referenced by:  stoweidlem60  29995
 Copyright terms: Public domain W3C validator