Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rezh Structured version   Unicode version

Theorem rezh 28189
Description: The  ZZ-module of  RR is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
rezh  |-  ( ZMod
` RRfld )  e. NrmMod

Proof of Theorem rezh
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 21457 . . . . 5  |-fld  e. NrmRing
2 resubdrg 18820 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\ RRfld  e.  DivRing )
32simpli 456 . . . . 5  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
4 df-refld 18817 . . . . . 6  |- RRfld  =  (flds  RR )
54subrgnrg 21351 . . . . 5  |-  ( (fld  e. NrmRing  /\  RR  e.  (SubRing ` fld ) )  -> RRfld  e. NrmRing )
61, 3, 5mp2an 670 . . . 4  |- RRfld  e. NrmRing
7 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( ZMod
` RRfld )  =  ( ZMod ` RRfld )
87zhmnrg 28185 . . . 4  |-  (RRfld  e. NrmRing  -> 
( ZMod ` RRfld )  e. NrmRing )
9 nrgngp 21340 . . . 4  |-  ( ( ZMod ` RRfld )  e. NrmRing  ->  ( ZMod ` RRfld )  e. NrmGrp )
106, 8, 9mp2b 10 . . 3  |-  ( ZMod
` RRfld )  e. NrmGrp
11 nrgring 21341 . . . . 5  |-  (RRfld  e. NrmRing  -> RRfld  e. 
Ring )
12 ringabl 17426 . . . . 5  |-  (RRfld  e.  Ring 
-> RRfld  e.  Abel )
136, 11, 12mp2b 10 . . . 4  |- RRfld  e.  Abel
147zlmlmod 18738 . . . 4  |-  (RRfld  e.  Abel  <->  ( ZMod ` RRfld )  e.  LMod )
1513, 14mpbi 208 . . 3  |-  ( ZMod
` RRfld )  e.  LMod
16 zringnrg 21462 . . 3  |-ring  e. NrmRing
1710, 15, 163pm3.2i 1172 . 2  |-  ( ( ZMod ` RRfld )  e. NrmGrp  /\  ( ZMod ` RRfld )  e.  LMod  /\ring  e. NrmRing )
18 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  z  e.  ZZ )
1918zcnd 10966 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  z  e.  CC )
20 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
2120recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
2219, 21absmuld 13370 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  (
z  x.  x ) )  =  ( ( abs `  z )  x.  ( abs `  x
) ) )
23 subrgsubg 17633 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  RR  e.  (SubGrp ` fld ) )
243, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  (SubGrp ` fld )
25 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  (.g ` fld )  =  (.g ` fld )
26 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g ` RRfld )  =  (.g ` RRfld )
277, 26zlmvsca 18737 . . . . . . . . . 10  |-  (.g ` RRfld )  =  ( .s `  ( ZMod ` RRfld ) )
2827eqcomi 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  ( ZMod ` RRfld ) )  =  (.g ` RRfld
)
2925, 4, 28subgmulg 16417 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  e.  (SubGrp ` fld )  /\  z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( z (.g ` fld ) x )  =  ( z ( .s `  ( ZMod ` RRfld ) )
x ) )
3024, 29mp3an1 1309 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( z (.g ` fld ) x )  =  ( z ( .s
`  ( ZMod ` RRfld ) ) x ) )
31 cnfldmulg 18648 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  CC )  ->  ( z (.g ` fld ) x )  =  ( z  x.  x
) )
3221, 31syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( z (.g ` fld ) x )  =  ( z  x.  x
) )
3330, 32eqtr3d 2497 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( z ( .s
`  ( ZMod ` RRfld ) ) x )  =  ( z  x.  x ) )
3433fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs  |`  RR ) `
 ( z ( .s `  ( ZMod
` RRfld ) ) x ) )  =  ( ( abs  |`  RR ) `
 ( z  x.  x ) ) )
35 zre 10864 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
36 remulcl 9566 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( z  x.  x
)  e.  RR )
37 fvres 5862 . . . . . . 7  |-  ( ( z  x.  x )  e.  RR  ->  (
( abs  |`  RR ) `
 ( z  x.  x ) )  =  ( abs `  (
z  x.  x ) ) )
3836, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs  |`  RR ) `
 ( z  x.  x ) )  =  ( abs `  (
z  x.  x ) ) )
3935, 38sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs  |`  RR ) `
 ( z  x.  x ) )  =  ( abs `  (
z  x.  x ) ) )
4034, 39eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs  |`  RR ) `
 ( z ( .s `  ( ZMod
` RRfld ) ) x ) )  =  ( abs `  ( z  x.  x ) ) )
41 fvres 5862 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( abs  |`  ZZ ) `
 z )  =  ( abs `  z
) )
42 fvres 5862 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs  |`  RR ) `
 x )  =  ( abs `  x
) )
4341, 42oveqan12d 6289 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( abs  |`  ZZ ) `  z
)  x.  ( ( abs  |`  RR ) `  x ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( abs `  x ) ) )
4422, 40, 433eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs  |`  RR ) `
 ( z ( .s `  ( ZMod
` RRfld ) ) x ) )  =  ( ( ( abs  |`  ZZ ) `
 z )  x.  ( ( abs  |`  RR ) `
 x ) ) )
4544rgen2 2879 . 2  |-  A. z  e.  ZZ  A. x  e.  RR  ( ( abs  |`  RR ) `  (
z ( .s `  ( ZMod ` RRfld ) )
x ) )  =  ( ( ( abs  |`  ZZ ) `  z
)  x.  ( ( abs  |`  RR ) `  x ) )
46 rebase 18818 . . . 4  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
477, 46zlmbas 18733 . . 3  |-  RR  =  ( Base `  ( ZMod ` RRfld
) )
48 recusp 21983 . . . . 5  |- RRfld  e. CUnifSp
4948elexi 3116 . . . 4  |- RRfld  e.  _V
50 cnring 18638 . . . . . . 7  |-fld  e.  Ring
51 ringmnd 17405 . . . . . . 7  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Mnd )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . 6  |-fld  e.  Mnd
53 0re 9585 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
54 ax-resscn 9538 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
55 cnfldbas 18622 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
56 cnfld0 18640 . . . . . . 7  |-  0  =  ( 0g ` fld )
57 cnfldnm 21455 . . . . . . 7  |-  abs  =  ( norm ` fld )
584, 55, 56, 57ressnm 27876 . . . . . 6  |-  ( (fld  e. 
Mnd  /\  0  e.  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( abs  |`  RR )  =  ( norm ` RRfld ) )
5952, 53, 54, 58mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( abs  |`  RR )  =  (
norm ` RRfld )
607, 59zlmnm 28184 . . . 4  |-  (RRfld  e.  _V  ->  ( abs  |`  RR )  =  ( norm `  ( ZMod ` RRfld ) ) )
6149, 60ax-mp 5 . . 3  |-  ( abs  |`  RR )  =  (
norm `  ( ZMod ` RRfld
) )
62 eqid 2454 . . 3  |-  ( .s
`  ( ZMod ` RRfld ) )  =  ( .s `  ( ZMod
` RRfld ) )
637zlmsca 18736 . . . 4  |-  (RRfld  e.  _V  ->ring  =  (Scalar `  ( ZMod ` RRfld
) ) )
6449, 63ax-mp 5 . . 3  |-ring  =  (Scalar `  ( ZMod ` RRfld ) )
65 zringbas 18692 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
66 zringnm 28178 . . . 4  |-  ( norm ` ring )  =  ( abs  |`  ZZ )
6766eqcomi 2467 . . 3  |-  ( abs  |`  ZZ )  =  (
norm ` ring )
6847, 61, 62, 64, 65, 67isnlm 21353 . 2  |-  ( ( ZMod ` RRfld )  e. NrmMod  <->  ( (
( ZMod ` RRfld )  e. NrmGrp  /\  ( ZMod ` RRfld )  e. 
LMod  /\ring 
e. NrmRing )  /\  A. z  e.  ZZ  A. x  e.  RR  ( ( abs  |`  RR ) `  (
z ( .s `  ( ZMod ` RRfld ) )
x ) )  =  ( ( ( abs  |`  ZZ ) `  z
)  x.  ( ( abs  |`  RR ) `  x ) ) ) )
6917, 45, 68mpbir2an 918 1  |-  ( ZMod
` RRfld )  e. NrmMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461    |` cres 4990   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486   ZZcz 10860   abscabs 13152  Scalarcsca 14790   .scvsca 14791   Mndcmnd 16121  .gcmg 16258  SubGrpcsubg 16397   Abelcabl 17001   Ringcrg 17396   DivRingcdr 17594  SubRingcsubrg 17623   LModclmod 17710  ℂfldccnfld 18618  ℤringzring 18686   ZModczlm 18716  RRfldcrefld 18816  CUnifSpccusp 20969   normcnm 21266  NrmGrpcngp 21267  NrmRingcnrg 21269  NrmModcnlm 21270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-drng 17596  df-subrg 17625  df-abv 17664  df-lmod 17712  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-metu 18617  df-cnfld 18619  df-zring 18687  df-zlm 18720  df-refld 18817  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-flim 20609  df-fcls 20611  df-ust 20872  df-utop 20903  df-uss 20928  df-usp 20929  df-cfilu 20959  df-cusp 20970  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-nm 21272  df-ngp 21273  df-nrg 21275  df-nlm 21276  df-cncf 21551  df-cfil 21863  df-cmet 21865  df-cms 21943
This theorem is referenced by:  rerrext  28227
  Copyright terms: Public domain W3C validator