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Theorem rexuzre 13148
Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexuzre  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z   
k, M
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexuzre
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11092 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  RR )
2 rexuz3.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleq2s 2575 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  RR )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  j  e.  RR )
5 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
65, 2eleq2s 2575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
7 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
87, 2eleq2s 2575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
9 eluz 11095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  k ) )
106, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  k ) )
1110biimprd 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( j  <_  k  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
1211expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  j ) ) )
1312imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  ->  ph )  ->  ( ( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  ph ) ) )
1413exp4a 606 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  ->  ph )  ->  ( k  e.  Z  ->  (
j  <_  k  ->  ph ) ) ) )
1514ralimdv2 2871 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
1615imp 429 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph ) )
174, 16jca 532 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( j  e.  RR  /\ 
A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
1817reximi2 2931 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ph ) )
19 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
20 flcl 11900 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  RR  ->  ( |_ `  j )  e.  ZZ )
2120adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( |_ `  j
)  e.  ZZ )
2221peano2zd 10969 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  ZZ )
23 ifcl 3981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
2422, 19, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
25 zre 10868 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
26 reflcl 11901 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  RR  ->  ( |_ `  j )  e.  RR )
27 peano2re 9752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  j )  e.  RR  ->  (
( |_ `  j
)  +  1 )  e.  RR )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  RR  ->  (
( |_ `  j
)  +  1 )  e.  RR )
29 max1 11386 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )
3025, 28, 29syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
31 eluz2 11088 . . . . . . 7  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
) ) )
3219, 24, 30, 31syl3anbrc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3332, 2syl6eleqr 2566 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  Z
)
34 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  ph )  <->  ( k  e.  Z  ->  ( j  <_  k  ->  ph )
) )
35 uzss 11102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) 
C_  ( ZZ>= `  M
) )
3632, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) 
C_  ( ZZ>= `  M
) )
3736, 2syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) 
C_  Z )
3837sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
39 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  j  e.  RR )
4024adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
4140zred 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
42 eluzelre 11092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )  ->  k  e.  RR )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  RR )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  j  e.  RR )
4528adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  RR )
4624zred 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
47 fllep1 11906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  RR  ->  j  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  j  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) )
49 max2 11388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  j )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )
5025, 28, 49syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  j )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
5144, 45, 46, 48, 50letrd 9738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  j  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  j  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
) )
53 eluzle 11094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
5539, 41, 43, 52, 54letrd 9738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  j  <_  k )
5638, 55jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( k  e.  Z  /\  j  <_  k ) )
5756ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  ( k  e.  Z  /\  j  <_ 
k ) ) )
5857imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( ( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  ph )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  ph ) ) )
5934, 58syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( k  e.  Z  ->  ( j  <_  k  ->  ph ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  ph ) ) )
6059ralimdv2 2871 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( j  <_ 
k  ->  ph )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
ph ) )
61 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( m  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( ZZ>= `  m )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) ) )
6261raleqdv 3064 . . . . . 6  |-  ( m  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<-> 
A. k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
ph ) )
6362rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
ph )  ->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph )
6433, 60, 63syl6an 545 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( j  <_ 
k  ->  ph )  ->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ph ) )
6564rexlimdva 2955 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph ) )
66 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  j )
)
6766raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( m  =  j  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
6867cbvrexv 3089 . . 3  |-  ( E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
6965, 68syl6ib 226 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
7018, 69impbid2 204 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495    <_ cle 9629   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   |_cfl 11895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fl 11897
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