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Theorem rexuzre 12832
Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexuzre  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z   
k, M
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexuzre
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelre 10863 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  RR )
2 rexuz3.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleq2s 2530 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  RR )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  j  e.  RR )
5 eluzelz 10862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
65, 2eleq2s 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
7 eluzelz 10862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
87, 2eleq2s 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
9 eluz 10866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  k ) )
106, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  j )  <->  j  <_  k ) )
1110biimprd 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  ( j  <_  k  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
1211expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  j ) ) )
1312imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  ->  ph )  ->  ( ( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  ph ) ) )
1413exp4a 606 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  ->  ph )  ->  ( k  e.  Z  ->  (
j  <_  k  ->  ph ) ) ) )
1514ralimdv2 2791 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
1615imp 429 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph ) )
174, 16jca 532 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( j  e.  RR  /\ 
A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
1817reximi2 2817 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ph ) )
19 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
20 flcl 11637 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  RR  ->  ( |_ `  j )  e.  ZZ )
2120adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( |_ `  j
)  e.  ZZ )
2221peano2zd 10742 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  ZZ )
23 ifcl 3826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
2422, 19, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
25 zre 10642 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
26 reflcl 11638 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  RR  ->  ( |_ `  j )  e.  RR )
27 peano2re 9534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  j )  e.  RR  ->  (
( |_ `  j
)  +  1 )  e.  RR )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  RR  ->  (
( |_ `  j
)  +  1 )  e.  RR )
29 max1 11149 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )
3025, 28, 29syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
31 eluz2 10859 . . . . . . 7  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
) ) )
3219, 24, 30, 31syl3anbrc 1172 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3332, 2syl6eleqr 2529 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  Z
)
34 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  ph )  <->  ( k  e.  Z  ->  ( j  <_  k  ->  ph )
) )
35 uzss 10873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) 
C_  ( ZZ>= `  M
) )
3632, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) 
C_  ( ZZ>= `  M
) )
3736, 2syl6sseqr 3398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) 
C_  Z )
3837sselda 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
39 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  j  e.  RR )
4024adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
4140zred 10739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
42 eluzelre 10863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )  ->  k  e.  RR )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  k  e.  RR )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  j  e.  RR )
4528adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  RR )
4624zred 10739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
47 fllep1 11643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  RR  ->  j  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  j  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) )
49 max2 11151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  j )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  j )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )
5025, 28, 49syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  j )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
5144, 45, 46, 48, 50letrd 9520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  j  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  j  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  j
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  M
) )
53 eluzle 10865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  <_ 
k )
5539, 41, 43, 52, 54letrd 9520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  j  <_  k )
5638, 55jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) ) )  ->  ( k  e.  Z  /\  j  <_  k ) )
5756ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  ( k  e.  Z  /\  j  <_ 
k ) ) )
5857imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( ( k  e.  Z  /\  j  <_  k )  ->  ph )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  ph ) ) )
5934, 58syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( k  e.  Z  ->  ( j  <_  k  ->  ph ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  ph ) ) )
6059ralimdv2 2791 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( j  <_ 
k  ->  ph )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
ph ) )
61 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( m  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( ZZ>= `  m )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M ) ) )
6261raleqdv 2918 . . . . . 6  |-  ( m  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<-> 
A. k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
ph ) )
6362rspcev 3068 . . . . 5  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  ( ( |_
`  j )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  j
)  +  1 ) ,  M ) )
ph )  ->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph )
6433, 60, 63syl6an 545 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  Z  ( j  <_ 
k  ->  ph )  ->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ph ) )
6564rexlimdva 2836 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph ) )
66 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  j )
)
6766raleqdv 2918 . . . 4  |-  ( m  =  j  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
6867cbvrexv 2943 . . 3  |-  ( E. m  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ph  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
6965, 68syl6ib 226 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
7018, 69impbid2 204 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  Z  (
j  <_  k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   ifcif 3786   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    <_ cle 9411   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   |_cfl 11632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fl 11634
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