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Theorem rexuz3 12841
Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexuz3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    M( k)

Proof of Theorem rexuz3
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
21rgen 2786 . . . 4  |-  A. k  e.  Z  k  e.  Z
3 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  M )
)
4 rexuz3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  Z )
65raleqdv 2928 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) k  e.  Z  <->  A. k  e.  Z  k  e.  Z ) )
76rspcev 3078 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. k  e.  Z  k  e.  Z )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z )
82, 7mpan2 671 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z )
98biantrurd 508 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
104uztrn2 10883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
1110a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ph  ->  k  e.  Z ) )
1211ancrd 554 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ph  ->  ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
1312ralimdva 2799 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
14 eluzelz 10875 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1514, 4eleq2s 2535 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
1613, 15jctild 543 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  ( j  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) ) )
1716imp 429 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( j  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
18 uzid 10880 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
19 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  k  e.  Z )
2019ralimi 2796 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) k  e.  Z )
21 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
2221rspcva 3076 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
2318, 20, 22syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  j  e.  Z )
24 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  ph )
2524ralimi 2796 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
2625adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
2723, 26jca 532 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
2817, 27impbii 188 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
2928rexbii2 2749 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  Z  /\  ph ) )
30 rexanuz 12838 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) 
<->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
3129, 30bitr2i 250 . 2  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph )
329, 31syl6rbb 262 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   ` cfv 5423   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-neg 9603  df-z 10652  df-uz 10867
This theorem is referenced by:  rexanuz2  12842  cau4  12849  clim2  12987  isercoll  13150  lmbr2  18868  lmff  18910  lmmbr3  20776  iscau3  20794  uniioombllem6  21073  ulmres  21858  rrncmslem  28736
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