MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexuz3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rexuz3 13423
Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexuz3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    M( k)

Proof of Theorem rexuz3
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
21rgen 2749 . . . 4  |-  A. k  e.  Z  k  e.  Z
3 fveq2 5870 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  M )
)
4 rexuz3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eqr 2505 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  Z )
65raleqdv 2995 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) k  e.  Z  <->  A. k  e.  Z  k  e.  Z ) )
76rspcev 3152 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. k  e.  Z  k  e.  Z )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z )
82, 7mpan2 678 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z )
98biantrurd 511 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
104uztrn2 11183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
1110a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ph  ->  k  e.  Z ) )
1211ancrd 557 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ph  ->  ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
1312ralimdva 2798 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
14 eluzelz 11175 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1514, 4eleq2s 2549 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
1613, 15jctild 546 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  ( j  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) ) )
1716imp 431 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( j  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
18 uzid 11180 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
19 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  k  e.  Z )
2019ralimi 2783 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) k  e.  Z )
21 eleq1 2519 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
2221rspcva 3150 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
2318, 20, 22syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  j  e.  Z )
24 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  ph )
2524ralimi 2783 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
2625adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
2723, 26jca 535 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
2817, 27impbii 191 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
2928rexbii2 2889 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  Z  /\  ph ) )
30 rexanuz 13420 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) 
<->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
3129, 30bitr2i 254 . 2  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph )
329, 31syl6rbb 266 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   ` cfv 5585   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-neg 9868  df-z 10945  df-uz 11167
This theorem is referenced by:  rexanuz2  13424  cau4  13431  clim2  13580  isercoll  13743  lmbr2  20287  lmff  20329  lmmbr3  22242  iscau3  22260  uniioombllem6  22558  ulmres  23355  rrncmslem  32176  clim2f  37726
  Copyright terms: Public domain W3C validator