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Theorem rexuz3 13488
Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 |- Z = ( ZZ>= ` M )
Assertion
Ref Expression
rexuz3 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z
Allowed substitution hints:   ph( k)   M( k)
Proof of Theorem rexuz3
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 |- ( k e. Z -> k e. Z )
21rgen 2766 . . . 4 |- A. k e. Z k e. Z
3 fveq2 5879 . . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` M ) )
4 rexuz3.1 . . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
53, 4syl6eqr 2523 . . . . . 6 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = Z )
65raleqdv 2979 . . . . 5 |- ( j = M -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z <-> A. k e. Z k e. Z ) )
76rspcev 3136 . . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. Z k e. Z ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
82, 7mpan2 685 . . 3 |- ( M e. ZZ -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
98biantrurd 516 . 2 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
104uztrn2 11200 . . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
1110a1d 25 . . . . . . . . 9 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph -> k e. Z ) )
1211ancrd 563 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ph -> ( k e. Z /\ ph ) ) )
1312ralimdva 2805 . . . . . . 7 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
14 eluzelz 11192 . . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
1514, 4eleq2s 2567 . . . . . . 7 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
1613, 15jctild 552 . . . . . 6 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) ) )
1716imp 436 . . . . 5 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
18 uzid 11197 . . . . . . 7 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
19 simpl 464 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. Z /\ ph ) -> k e. Z )
2019ralimi 2796 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z )
21 eleq1 2537 . . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
2221rspcva 3134 . . . . . . 7 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` j ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z ) -> j e. Z )
2318, 20, 22syl2an 485 . . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> j e. Z )
24 simpr 468 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. Z /\ ph ) -> ph )
2524ralimi 2796 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
2625adantl 473 . . . . . 6 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
2723, 26jca 541 . . . . 5 |- ( ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) -> ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
2817, 27impbii 192 . . . 4 |- ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( j e. ZZ /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) ) )
2928rexbii2 2879 . . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) )
30 rexanuz 13485 . . 3 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. Z /\ ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3129, 30bitr2i 258 . 2 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. Z /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
329, 31syl6rbb 270 1 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   ` cfv 5589   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-neg 9883  df-z 10962  df-uz 11183
This theorem is referenced by:  rexanuz2  13489  cau4  13496  clim2  13645  isercoll  13808  lmbr2  20352  lmff  20394  lmmbr3  22308  iscau3  22326  uniioombllem6  22625  ulmres  23422  rrncmslem  32228  clim2f  37813
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