MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexuz3 Structured version   Unicode version

Theorem rexuz3 13161
Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexuz3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    M( k)

Proof of Theorem rexuz3
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
21rgen 2827 . . . 4  |-  A. k  e.  Z  k  e.  Z
3 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  M )
)
4 rexuz3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  Z )
65raleqdv 3069 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) k  e.  Z  <->  A. k  e.  Z  k  e.  Z ) )
76rspcev 3219 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. k  e.  Z  k  e.  Z )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z )
82, 7mpan2 671 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z )
98biantrurd 508 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
104uztrn2 11111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
1110a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ph  ->  k  e.  Z ) )
1211ancrd 554 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ph  ->  ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
1312ralimdva 2875 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
14 eluzelz 11103 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1514, 4eleq2s 2575 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
1613, 15jctild 543 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  ( j  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) ) )
1716imp 429 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( j  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
18 uzid 11108 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
19 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  k  e.  Z )
2019ralimi 2860 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) k  e.  Z )
21 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
2221rspcva 3217 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
2318, 20, 22syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  j  e.  Z )
24 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  ph )
2524ralimi 2860 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
2625adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
2723, 26jca 532 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) )  ->  (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
2817, 27impbii 188 . . . 4  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) ) )
2928rexbii2 2967 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  Z  /\  ph ) )
30 rexanuz 13158 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  Z  /\  ph ) 
<->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
3129, 30bitr2i 250 . 2  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e.  Z  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph )
329, 31syl6rbb 262 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   ` cfv 5594   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-neg 9820  df-z 10877  df-uz 11095
This theorem is referenced by:  rexanuz2  13162  cau4  13169  clim2  13307  isercoll  13470  lmbr2  19628  lmff  19670  lmmbr3  21567  iscau3  21585  uniioombllem6  21865  ulmres  22650  rrncmslem  30255  clim2f  31501
  Copyright terms: Public domain W3C validator