Theorem rexunirn 28206

Description: Restricted existential quantification over the union of the range of a function. Cf. rexrn 6039 and eluni2 4194. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexunirn.1	|- F = ( x e. A |-> B )
rexunirn.2	|- ( x e. A -> B e. V )

Assertion

Ref	Expression
rexunirn	|- ( E. x e. A E. y e. B ph -> E. y e. U. ran F ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   x, F   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x)   B( x, y)   F( y)   V( x, y)

Proof of Theorem rexunirn

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2762	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
2		19.42v 1842	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
3		df-rex 2762	. . . . . 6 |- ( E. y e. B ph <-> E. y ( y e. B /\ ph ) )
4	3	anbi2i 708	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
5	2, 4	bitr4i 260	. . . 4 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
6	5	exbii 1726	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> E. x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
7	1, 6	bitr4i 260	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
8		rexunirn.2	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> B e. V )
9		rexunirn.1	. . . . . . . . 9 |- F = ( x e. A |-> B )
10	9	elrnmpt1 5089	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> B e. ran F )
11	8, 10	mpdan 681	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> B e. ran F )
12		eleq2 2538	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( y e. b <-> y e. B ) )
13	12	anbi1d 719	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( y e. b /\ ph ) <-> ( y e. B /\ ph ) ) )
14	13	rspcev 3136	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ran F /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E. b e. ran F ( y e. b /\ ph ) )
15	11, 14	sylan 479	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E. b e. ran F ( y e. b /\ ph ) )
16		r19.41v 2928	. . . . . 6 |- ( E. b e. ran F ( y e. b /\ ph ) <-> ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
17	15, 16	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
18	17	eximi 1715	. . . 4 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E. y ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
19		df-rex 2762	. . . . 5 |- ( E. y e. U. ran F ph <-> E. y ( y e. U. ran F /\ ph ) )
20		eluni2 4194	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ran F <-> E. b e. ran F y e. b )
21	20	anbi1i 709	. . . . . 6 |- ( ( y e. U. ran F /\ ph ) <-> ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
22	21	exbii 1726	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. U. ran F /\ ph ) <-> E. y ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
23	19, 22	bitri 257	. . . 4 |- ( E. y e. U. ran F ph <-> E. y ( E. b e. ran F y e. b /\ ph ) )
24	18, 23	sylibr 217	. . 3 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E. y e. U. ran F ph )
25	24	exlimiv 1784	. 2 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E. y e. U. ran F ph )
26	7, 25	sylbi 200	1 |- ( E. x e. A E. y e. B ph -> E. y e. U. ran F ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   E.wrex 2757   U.cuni 4190   |-> cmpt 4454   ran crn 4840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-cnv 4847  df-dm 4849  df-rn 4850

This theorem is referenced by: (None)