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Theorem rexunirn 28206
Description: Restricted existential quantification over the union of the range of a function. Cf. rexrn 6039 and eluni2 4194. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rexunirn.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
rexunirn.2  |-  ( x  e.  A  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
rexunirn  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  U. ran  F
ph )
Distinct variable groups:    x, y    y, A    x, F    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( x)    B( x, y)    F( y)    V( x, y)

Proof of Theorem rexunirn
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2762 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
2 19.42v 1842 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
3 df-rex 2762 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)
43anbi2i 708 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  ( x  e.  A  /\  E. y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
52, 4bitr4i 260 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
65exbii 1726 . . 3  |-  ( E. x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
71, 6bitr4i 260 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
8 rexunirn.2 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  B  e.  V )
9 rexunirn.1 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
109elrnmpt1 5089 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  B  e.  ran  F
)
118, 10mpdan 681 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  B  e.  ran  F )
12 eleq2 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
y  e.  b  <->  y  e.  B ) )
1312anbi1d 719 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( y  e.  b  /\  ph )  <->  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
1413rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ran  F  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E. b  e.  ran  F ( y  e.  b  /\  ph ) )
1511, 14sylan 479 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E. b  e.  ran  F ( y  e.  b  /\  ph ) )
16 r19.41v 2928 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  ran  F
( y  e.  b  /\  ph )  <->  ( E. b  e.  ran  F  y  e.  b  /\  ph ) )
1715, 16sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  -> 
( E. b  e. 
ran  F  y  e.  b  /\  ph ) )
1817eximi 1715 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E. y
( E. b  e. 
ran  F  y  e.  b  /\  ph ) )
19 df-rex 2762 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  U. ran  F
ph 
<->  E. y ( y  e.  U. ran  F  /\  ph ) )
20 eluni2 4194 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ran  F  <->  E. b  e.  ran  F  y  e.  b )
2120anbi1i 709 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  U. ran  F  /\  ph )  <->  ( E. b  e.  ran  F  y  e.  b  /\  ph ) )
2221exbii 1726 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  e. 
U. ran  F  /\  ph )  <->  E. y ( E. b  e.  ran  F  y  e.  b  /\  ph ) )
2319, 22bitri 257 . . . 4  |-  ( E. y  e.  U. ran  F
ph 
<->  E. y ( E. b  e.  ran  F  y  e.  b  /\  ph ) )
2418, 23sylibr 217 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E. y  e.  U. ran  F ph )
2524exlimiv 1784 . 2  |-  ( E. x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E. y  e.  U. ran  F
ph )
267, 25sylbi 200 1  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  U. ran  F
ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   E.wrex 2757   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   ran crn 4840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-cnv 4847  df-dm 4849  df-rn 4850
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