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Theorem rexun 3557
Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)
Assertion
Ref Expression
rexun  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )

Proof of Theorem rexun
StepHypRef Expression
1 df-rex 2742 . 2  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph ) )
2 19.43 1660 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph )
)  <->  ( E. x
( x  e.  A  /\  ph )  \/  E. x ( x  e.  B  /\  ph )
) )
3 elun 3518 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
43anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ph )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ph ) )
5 andir 863 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ph )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
64, 5bitri 249 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  ph )  <->  ( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph )
) )
76exbii 1634 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph )  <->  E. x
( ( x  e.  A  /\  ph )  \/  ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
8 df-rex 2742 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ph )
)
9 df-rex 2742 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  ph  <->  E. x ( x  e.  B  /\  ph )
)
108, 9orbi12i 521 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph )  <->  ( E. x ( x  e.  A  /\  ph )  \/  E. x ( x  e.  B  /\  ph ) ) )
112, 7, 103bitr4i 277 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  ph )  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )
121, 11bitri 249 1  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( E. x  e.  A  ph  \/  E. x  e.  B  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E.wrex 2737    u. cun 3347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-rex 2742  df-v 2995  df-un 3354
This theorem is referenced by:  rexprg  3947  rextpg  3949  iunxun  4273  oarec  7022  zornn0g  8695  rpnnen2  13529  vdwlem6  14068  cmpfi  19033  scshwfzeqfzo  30518
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