MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexrnmpt2 Structured version   Unicode version

Theorem rexrnmpt2 6391
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngop.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
ralrnmpt2.2  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    z, B    z, C    z, F    ps, z    x, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    ps( x, y)    A( x)    B( x, y)    C( x, y)    F( x, y)    V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpt2
StepHypRef Expression
1 rngop.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
2 ralrnmpt2.2 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32notbid 292 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
41, 3ralrnmpt2 6390 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. z  e.  ran  F  -.  ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps ) )
54notbid 292 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( -. 
A. z  e.  ran  F  -.  ph  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
)
6 dfrex2 2905 . 2  |-  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  -.  A. z  e. 
ran  F  -.  ph )
7 dfrex2 2905 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ps  <->  -. 
A. y  e.  B  -.  ps )
87rexbii 2956 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps  <->  E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  -.  ps )
9 rexnal 2902 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  -.  ps 
<->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
108, 9bitri 249 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps  <->  -. 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
115, 6, 103bitr4g 288 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   ran crn 4989    |-> cmpt2 6272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-cnv 4996  df-dm 4998  df-rn 4999  df-oprab 6274  df-mpt2 6275
This theorem is referenced by:  lsmass  16887  eltx  20235  txrest  20298  txlm  20315  ptrest  30288
  Copyright terms: Public domain W3C validator