MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexrnmpt2 Structured version   Unicode version

Theorem rexrnmpt2 6317
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngop.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
ralrnmpt2.2  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    z, B    z, C    z, F    ps, z    x, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    ps( x, y)    A( x)    B( x, y)    C( x, y)    F( x, y)    V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpt2
StepHypRef Expression
1 rngop.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
2 ralrnmpt2.2 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32notbid 294 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
41, 3ralrnmpt2 6316 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( A. z  e.  ran  F  -.  ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps ) )
54notbid 294 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( -. 
A. z  e.  ran  F  -.  ph  <->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
)
6 dfrex2 2857 . 2  |-  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  -.  A. z  e. 
ran  F  -.  ph )
7 dfrex2 2857 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ps  <->  -. 
A. y  e.  B  -.  ps )
87rexbii 2862 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps  <->  E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  -.  ps )
9 rexnal 2854 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  -.  ps 
<->  -.  A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
108, 9bitri 249 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps  <->  -. 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  -.  ps )
115, 6, 103bitr4g 288 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   ran crn 4950    |-> cmpt2 6203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pr 4640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-br 4402  df-opab 4460  df-cnv 4957  df-dm 4959  df-rn 4960  df-oprab 6205  df-mpt2 6206
This theorem is referenced by:  lsmass  16289  eltx  19274  txrest  19337  txlm  19354  ptrest  28574
  Copyright terms: Public domain W3C validator