MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexrnmpt Structured version   Unicode version

Theorem rexrnmpt 5938
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ralrnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
ralrnmpt.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, B    ch, y    y, F    ps, x
Allowed substitution hints:    ps( y)    ch( x)    A( y)    B( x)    F( x)    V( x, y)

Proof of Theorem rexrnmpt
StepHypRef Expression
1 ralrnmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
2 ralrnmpt.2 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
32notbid 294 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
41, 3ralrnmpt 5937 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( A. y  e.  ran  F  -.  ps 
<-> 
A. x  e.  A  -.  ch ) )
54notbid 294 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( -. 
A. y  e.  ran  F  -.  ps  <->  -.  A. x  e.  A  -.  ch )
)
6 dfrex2 2845 . 2  |-  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  -.  A. y  e. 
ran  F  -.  ps )
7 dfrex2 2845 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ch  <->  -. 
A. x  e.  A  -.  ch )
85, 6, 73bitr4g 288 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792   E.wrex 2793    |-> cmpt 4434   ran crn 4925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-fv 5510
This theorem is referenced by:  onoviun  6890  onnseq  6891  ghmcyg  16462  pgpfac1lem2  16667  pgpfac1lem3  16669  pgpfac1lem4  16670  pptbas  18714  lly1stc  19202  txbas  19242  eltsms  19805  tsmsf1o  19821  metutopOLD  20259  psmetutop  20260  xrge0tsms  20513  fmcfil  20885  ellimc2  21454  limcflf  21458  xrge0tsmsd  26373  cntotbnd  28819
  Copyright terms: Public domain W3C validator