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Theorem rexrabdioph 30318
Description: Diophantine set builder for existential quantification. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rexrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexrabdioph.2  |-  ( v  =  ( t `  M )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
rexrabdioph.3  |-  ( u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
Assertion
Ref Expression
rexrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    t, N, u, v    t, M, u, v    ph, u, v    ps, t    ch, v
Allowed substitution hints:    ph( t)    ps( v, u)    ch( u, t)

Proof of Theorem rexrabdioph
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2816 . . . . . 6  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) }
2 dfsbcq 3326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  ( [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
32cbvrexv 3082 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  E. c  e.  NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
43anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. c  e.  NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
)
5 r19.42v 3009 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. c  e. 
NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
64, 5bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
7 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
9 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
10 rexrabdioph.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  ( N  +  1 )
1110mapfzcons 30239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
a  u.  { <. M ,  c >. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )
127, 8, 9, 11syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
1312adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
1410mapfzcons2 30242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  =  c )
158, 9, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  =  c )
1615eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  c  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
) )
17 dfsbcq 3326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
1910mapfzcons1 30240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) )  =  a )
208, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  =  a )
2120eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
22 dfsbcq 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2423sbcbidv 3383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. a  /  u ]. ps 
<-> 
[. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2518, 24bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `
 M )  / 
v ]. [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2625biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  ->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
2726impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps )
2821adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
29 fveq1 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
b `  M )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M ) )
30 dfsbcq 3326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  M )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
32 reseq1 5258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
33 dfsbcq 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3534sbcbidv 3383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3631, 35bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
3732eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  a  =  ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) ) ) )
3836, 37anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
( [. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) ) ) ) )
3938rspcev 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
4013, 27, 28, 39syl12anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
4140ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
4241rexlimdva 2948 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
43 elmapi 7430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  b : ( 1 ... M ) --> NN0 )
44 nn0p1nn 10824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
4510, 44syl5eqel 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
46 elfz1end 11704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4745, 46sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
48 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b : ( 1 ... M ) --> NN0 
/\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( b `  M )  e.  NN0 )
4943, 47, 48syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( b `  M
)  e.  NN0 )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( b `  M )  e.  NN0 )
51 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) ) )
5210mapfzcons1cl 30241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) )
5352ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
5451, 53eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
55 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps )
56 dfsbcq 3326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5756sbcbidv 3383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. a  /  u ]. ps 
<-> 
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5857ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5955, 58mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
60 dfsbcq 3326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( b `  M )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
6160anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( b `  M )  ->  (
( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
6261rspcev 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b `  M
)  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
6350, 54, 59, 62syl12anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
6463ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
6564rexlimdva 2948 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
6642, 65impbid 191 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
676, 66syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
6867abbidv 2596 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. b  e. 
NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) } )
691, 68syl5eq 2513 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) } )
70 nfcv 2622 . . . . . 6  |-  F/_ u
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
71 nfcv 2622 . . . . . 6  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
72 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ a E. v  e.  NN0  ps
73 nfcv 2622 . . . . . . 7  |-  F/_ u NN0
74 nfcv 2622 . . . . . . . 8  |-  F/_ u
b
75 nfsbc1v 3344 . . . . . . . 8  |-  F/ u [. a  /  u ]. ps
7674, 75nfsbc 3346 . . . . . . 7  |-  F/ u [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
7773, 76nfrex 2920 . . . . . 6  |-  F/ u E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
78 sbceq1a 3335 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  a  ->  ( ps 
<-> 
[. a  /  u ]. ps ) )
7978rexbidv 2966 . . . . . . 7  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ps  <->  E. v  e.  NN0  [. a  /  u ]. ps )
)
80 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ b
[. a  /  u ]. ps
81 nfsbc1v 3344 . . . . . . . 8  |-  F/ v
[. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
82 sbceq1a 3335 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  b  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
8380, 81, 82cbvrex 3078 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  NN0  [. a  /  u ]. ps  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
8479, 83syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ps  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
)
8570, 71, 72, 77, 84cbvrab 3104 . . . . 5  |-  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }
86 fveq1 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  b  ->  (
t `  M )  =  ( b `  M ) )
87 dfsbcq 3326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t `  M )  =  ( b `  M )  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
8886, 87syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
89 reseq1 5258 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  b  ->  (
t  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )
90 dfsbcq 3326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9291sbcbidv 3383 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9388, 92bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
9493rexrab 3260 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
9594abbii 2594 . . . . 5  |-  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) }
9669, 85, 953eqtr4g 2526 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) } )
97 fvex 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( t `
 M )  e. 
_V
98 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
9998resex 5308 . . . . . . . . 9  |-  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
100 rexrabdioph.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( t `  M )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
101 rexrabdioph.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
102100, 101sylan9bb 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  ( t `
 M )  /\  u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ps  <->  ph ) )
10397, 99, 102sbc2ie 3400 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  ph )
104103a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  ph ) )
105104rabbiia 3095 . . . . . 6  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph }
106105rexeqi 3056 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  <->  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) ) )
107106abbii 2594 . . . 4  |-  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) }  =  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }
10896, 107syl6eq 2517 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) } )
109108adantr 465 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  =  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) } )
110 simpl 457 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
111 nn0z 10876 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
112 uzid 11085 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
113 peano2uz 11123 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
114111, 112, 1133syl 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
11510, 114syl5eqel 2552 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
116115adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
117 simpr 461 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph }  e.  (Dioph `  M ) )
118 diophrex 30300 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }  e.  (Dioph `  N ) )
119110, 116, 117, 118syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }  e.  (Dioph `  N ) )
120109, 119eqeltrd 2548 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   E.wrex 2808   {crab 2811   [.wsbc 3324    u. cun 3467   {csn 4020   <.cop 4026    |` cres 4994   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^m cmap 7410   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   ...cfz 11661  Diophcdioph 30279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361  df-mzpcl 30246  df-mzp 30247  df-dioph 30280
This theorem is referenced by:  rexfrabdioph  30319  elnn0rabdioph  30327  dvdsrabdioph  30334
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