Theorem rexrabdioph 35549

Description: Diophantine set builder for existential quantification. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexrabdioph.1	|- M = ( N + 1 )
rexrabdioph.2	|- ( v = ( t ` M ) -> ( ps <-> ch ) )
rexrabdioph.3	|- ( u = ( t |` ( 1 ... N ) ) -> ( ch <-> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrabdioph	|- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } e. (Dioph ` N ) )

Distinct variable groups:   t, N, u, v   t, M, u, v   ph, u, v   ps, t   ch, v

Allowed substitution hints:   ph( t)   ps( v, u)   ch( u, t)

Proof of Theorem rexrabdioph

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2718	. . . . . 6 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps } = { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) }
2		dfsbcq 3239	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = c -> ( [. b / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
3	2	cbvrexv 2992	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps <-> E. c e. NN0 [. c / v ]. [. a / u ]. ps )
4	3	anbi2i 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. c e. NN0 [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
5		r19.42v 2917	. . . . . . . . 9 |- ( E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. c e. NN0 [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
6	4, 5	bitr4i 255	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
7		simpll 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
8		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
9		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> c e. NN0 )
10		rexrabdioph.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M = ( N + 1 )
11	10	mapfzcons 35470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ c e. NN0 ) -> ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) )
12	7, 8, 9, 11	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) )
13	12	adantrr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) )
14	10	mapfzcons2 35473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ c e. NN0 ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) = c )
15	8, 9, 14	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) = c )
16	15	eqcomd 2429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> c = ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) )
17	10	mapfzcons1 35471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) = a )
18	17	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) = a )
19	18	eqcomd 2429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) )
20	19	sbceq1d 3242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. a / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
21	16, 20	sbceqbid 3244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
22	21	biimpd 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps -> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
23	22	impr 623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps )
24	19	adantrr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) )
25		fveq1 5819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( b ` M ) = ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) )
26		reseq1 5056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) )
27	26	sbceq1d 3242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
28	25, 27	sbceqbid 3244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
29	26	eqeq2d 2433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) ) )
30	28, 29	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) <-> ( [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
31	30	rspcev 3120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) /\ ( [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) )
32	13, 23, 24, 31	syl12anc 1262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) )
33	32	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
34	33	rexlimdva 2851	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
35		elmapi 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) -> b : ( 1 ... M ) --> NN0 )
36		nn0p1nn 10855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
37	10, 36	syl5eqel 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> M e. NN )
38		elfz1end 11775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN <-> M e. ( 1 ... M ) )
39	37, 38	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> M e. ( 1 ... M ) )
40		ffvelrn 5974	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b : ( 1 ... M ) --> NN0 /\ M e. ( 1 ... M ) ) -> ( b ` M ) e. NN0 )
41	35, 39, 40	syl2anr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) -> ( b ` M ) e. NN0 )
42	41	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( b ` M ) e. NN0 )
43		simprr 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> a = ( b |` ( 1 ... N ) ) )
44	10	mapfzcons1cl 35472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
45	44	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
46	43, 45	eqeltrd 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
47		simprl 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps )
48		dfsbcq 3239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. a / u ]. ps <-> [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
49	48	sbcbidv 3292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
50	49	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
51	47, 50	mpbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps )
52		dfsbcq 3239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( b ` M ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) )
53	52	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( b ` M ) -> ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) ) )
54	53	rspcev 3120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b ` M ) e. NN0 /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
55	42, 46, 51, 54	syl12anc 1262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
56	55	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) )
57	56	rexlimdva 2851	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) )
58	34, 57	impbid 193	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
59	6, 58	syl5bb 260	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
60	59	abbidv 2541	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) } )
61	1, 60	syl5eq 2469	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) } )
62		nfcv 2564	. . . . . 6 |- F/_ u ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
63		nfcv 2564	. . . . . 6 |- F/_ a ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
64		nfv 1755	. . . . . 6 |- F/ a E. v e. NN0 ps
65		nfcv 2564	. . . . . . 7 |- F/_ u NN0
66		nfcv 2564	. . . . . . . 8 |- F/_ u b
67		nfsbc1v 3257	. . . . . . . 8 |- F/ u [. a / u ]. ps
68	66, 67	nfsbc 3259	. . . . . . 7 |- F/ u [. b / v ]. [. a / u ]. ps
69	65, 68	nfrex 2822	. . . . . 6 |- F/ u E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps
70		sbceq1a 3248	. . . . . . . 8 |- ( u = a -> ( ps <-> [. a / u ]. ps ) )
71	70	rexbidv 2873	. . . . . . 7 |- ( u = a -> ( E. v e. NN0 ps <-> E. v e. NN0 [. a / u ]. ps ) )
72		nfv 1755	. . . . . . . 8 |- F/ b [. a / u ]. ps
73		nfsbc1v 3257	. . . . . . . 8 |- F/ v [. b / v ]. [. a / u ]. ps
74		sbceq1a 3248	. . . . . . . 8 |- ( v = b -> ( [. a / u ]. ps <-> [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) )
75	72, 73, 74	cbvrex 2988	. . . . . . 7 |- ( E. v e. NN0 [. a / u ]. ps <-> E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps )
76	71, 75	syl6bb 264	. . . . . 6 |- ( u = a -> ( E. v e. NN0 ps <-> E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) )
77	62, 63, 64, 69, 76	cbvrab 3015	. . . . 5 |- { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps }
78		fveq1 5819	. . . . . . . 8 |- ( t = b -> ( t ` M ) = ( b ` M ) )
79		reseq1 5056	. . . . . . . . 9 |- ( t = b -> ( t |` ( 1 ... N ) ) = ( b |` ( 1 ... N ) ) )
80	79	sbceq1d 3242	. . . . . . . 8 |- ( t = b -> ( [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
81	78, 80	sbceqbid 3244	. . . . . . 7 |- ( t = b -> ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
82	81	rexrab 3172	. . . . . 6 |- ( E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) )
83	82	abbii 2539	. . . . 5 |- { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) }
84	61, 77, 83	3eqtr4g 2482	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } )
85		fvex 5830	. . . . . . . . 9 |- ( t ` M ) e. _V
86		vex 3020	. . . . . . . . . 10 |- t e. _V
87	86	resex 5105	. . . . . . . . 9 |- ( t |` ( 1 ... N ) ) e. _V
88		rexrabdioph.2	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( t ` M ) -> ( ps <-> ch ) )
89		rexrabdioph.3	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( t |` ( 1 ... N ) ) -> ( ch <-> ph ) )
90	88, 89	sylan9bb 704	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = ( t ` M ) /\ u = ( t |` ( 1 ... N ) ) ) -> ( ps <-> ph ) )
91	85, 87, 90	sbc2ie 3305	. . . . . . . 8 |- ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> ph )
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) -> ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> ph ) )
93	92	rabbiia 3005	. . . . . 6 |- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph }
94	93	rexeqi 2964	. . . . 5 |- ( E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) )
95	94	abbii 2539	. . . 4 |- { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) }
96	84, 95	syl6eq 2473	. . 3 |- ( N e. NN0 -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } )
97	96	adantr 466	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } )
98		simpl 458	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> N e. NN0 )
99		nn0z 10906	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
100		uzid 11119	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
101		peano2uz 11158	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
102	99, 100, 101	3syl 18	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
103	10, 102	syl5eqel 2505	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
104	103	adantr 466	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
105		simpr 462	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) )
106		diophrex 35530	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ( ZZ>= ` N ) /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } e. (Dioph ` N ) )
107	98, 104, 105, 106	syl3anc 1264	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } e. (Dioph ` N ) )
108	97, 107	eqeltrd 2501	1 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } e. (Dioph ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   {cab 2409   E.wrex 2710   {crab 2713   [.wsbc 3237   u. cun 3372   {csn 3936   <.cop 3942   |` cres 4793   -->wf 5535   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   ^m cmap 7422   1c1 9486   + caddc 9488   NNcn 10555   NN0cn0 10815   ZZcz 10883   ZZ>=cuz 11105   ...cfz 11730  Diophcdioph 35509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-of 6484  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-card 8320  df-cda 8544  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-fz 11731  df-hash 12461  df-mzpcl 35477  df-mzp 35478  df-dioph 35510

This theorem is referenced by:  rexfrabdioph  35550  elnn0rabdioph  35558  dvdsrabdioph  35565