Theorem rexrabdioph 30318

Description: Diophantine set builder for existential quantification. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexrabdioph.1	|- M = ( N + 1 )
rexrabdioph.2	|- ( v = ( t ` M ) -> ( ps <-> ch ) )
rexrabdioph.3	|- ( u = ( t |` ( 1 ... N ) ) -> ( ch <-> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrabdioph	|- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } e. (Dioph ` N ) )

Distinct variable groups:   t, N, u, v   t, M, u, v   ph, u, v   ps, t   ch, v

Allowed substitution hints:   ph( t)   ps( v, u)   ch( u, t)

Proof of Theorem rexrabdioph

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2816	. . . . . 6 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps } = { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) }
2		dfsbcq 3326	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = c -> ( [. b / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
3	2	cbvrexv 3082	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps <-> E. c e. NN0 [. c / v ]. [. a / u ]. ps )
4	3	anbi2i 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. c e. NN0 [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
5		r19.42v 3009	. . . . . . . . 9 |- ( E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. c e. NN0 [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
6	4, 5	bitr4i 252	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
7		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
8		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
9		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> c e. NN0 )
10		rexrabdioph.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M = ( N + 1 )
11	10	mapfzcons 30239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ c e. NN0 ) -> ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) )
12	7, 8, 9, 11	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) )
13	12	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) )
14	10	mapfzcons2 30242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ c e. NN0 ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) = c )
15	8, 9, 14	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) = c )
16	15	eqcomd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> c = ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) )
17		dfsbcq 3326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) )
19	10	mapfzcons1 30240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) = a )
20	8, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) = a )
21	20	eqcomd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) )
22		dfsbcq 3326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. a / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. a / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
24	23	sbcbidv 3383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
25	18, 24	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
26	25	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps -> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
27	26	impr 619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps )
28	21	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) )
29		fveq1 5856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( b ` M ) = ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) )
30		dfsbcq 3326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b ` M ) = ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
32		reseq1 5258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) )
33		dfsbcq 3326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b |` ( 1 ... N ) ) = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
35	34	sbcbidv 3383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
36	31, 35	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
37	32	eqeq2d 2474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) ) )
38	36, 37	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) <-> ( [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
39	38	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) /\ ( [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) )
40	13, 27, 28, 39	syl12anc 1221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
42	41	rexlimdva 2948	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
43		elmapi 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) -> b : ( 1 ... M ) --> NN0 )
44		nn0p1nn 10824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
45	10, 44	syl5eqel 2552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> M e. NN )
46		elfz1end 11704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN <-> M e. ( 1 ... M ) )
47	45, 46	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> M e. ( 1 ... M ) )
48		ffvelrn 6010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b : ( 1 ... M ) --> NN0 /\ M e. ( 1 ... M ) ) -> ( b ` M ) e. NN0 )
49	43, 47, 48	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) -> ( b ` M ) e. NN0 )
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( b ` M ) e. NN0 )
51		simprr 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> a = ( b |` ( 1 ... N ) ) )
52	10	mapfzcons1cl 30241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
53	52	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
54	51, 53	eqeltrd 2548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
55		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps )
56		dfsbcq 3326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. a / u ]. ps <-> [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
57	56	sbcbidv 3383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
58	57	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
59	55, 58	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps )
60		dfsbcq 3326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( b ` M ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) )
61	60	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( b ` M ) -> ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) ) )
62	61	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b ` M ) e. NN0 /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
63	50, 54, 59, 62	syl12anc 1221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
64	63	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) )
65	64	rexlimdva 2948	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) )
66	42, 65	impbid 191	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
67	6, 66	syl5bb 257	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
68	67	abbidv 2596	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) } )
69	1, 68	syl5eq 2513	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) } )
70		nfcv 2622	. . . . . 6 |- F/_ u ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
71		nfcv 2622	. . . . . 6 |- F/_ a ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
72		nfv 1678	. . . . . 6 |- F/ a E. v e. NN0 ps
73		nfcv 2622	. . . . . . 7 |- F/_ u NN0
74		nfcv 2622	. . . . . . . 8 |- F/_ u b
75		nfsbc1v 3344	. . . . . . . 8 |- F/ u [. a / u ]. ps
76	74, 75	nfsbc 3346	. . . . . . 7 |- F/ u [. b / v ]. [. a / u ]. ps
77	73, 76	nfrex 2920	. . . . . 6 |- F/ u E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps
78		sbceq1a 3335	. . . . . . . 8 |- ( u = a -> ( ps <-> [. a / u ]. ps ) )
79	78	rexbidv 2966	. . . . . . 7 |- ( u = a -> ( E. v e. NN0 ps <-> E. v e. NN0 [. a / u ]. ps ) )
80		nfv 1678	. . . . . . . 8 |- F/ b [. a / u ]. ps
81		nfsbc1v 3344	. . . . . . . 8 |- F/ v [. b / v ]. [. a / u ]. ps
82		sbceq1a 3335	. . . . . . . 8 |- ( v = b -> ( [. a / u ]. ps <-> [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) )
83	80, 81, 82	cbvrex 3078	. . . . . . 7 |- ( E. v e. NN0 [. a / u ]. ps <-> E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps )
84	79, 83	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( u = a -> ( E. v e. NN0 ps <-> E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) )
85	70, 71, 72, 77, 84	cbvrab 3104	. . . . 5 |- { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps }
86		fveq1 5856	. . . . . . . . 9 |- ( t = b -> ( t ` M ) = ( b ` M ) )
87		dfsbcq 3326	. . . . . . . . 9 |- ( ( t ` M ) = ( b ` M ) -> ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( t = b -> ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
89		reseq1 5258	. . . . . . . . . 10 |- ( t = b -> ( t |` ( 1 ... N ) ) = ( b |` ( 1 ... N ) ) )
90		dfsbcq 3326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t |` ( 1 ... N ) ) = ( b |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
91	89, 90	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( t = b -> ( [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
92	91	sbcbidv 3383	. . . . . . . 8 |- ( t = b -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
93	88, 92	bitrd 253	. . . . . . 7 |- ( t = b -> ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
94	93	rexrab 3260	. . . . . 6 |- ( E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) )
95	94	abbii 2594	. . . . 5 |- { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) }
96	69, 85, 95	3eqtr4g 2526	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } )
97		fvex 5867	. . . . . . . . 9 |- ( t ` M ) e. _V
98		vex 3109	. . . . . . . . . 10 |- t e. _V
99	98	resex 5308	. . . . . . . . 9 |- ( t |` ( 1 ... N ) ) e. _V
100		rexrabdioph.2	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( t ` M ) -> ( ps <-> ch ) )
101		rexrabdioph.3	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( t |` ( 1 ... N ) ) -> ( ch <-> ph ) )
102	100, 101	sylan9bb 699	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = ( t ` M ) /\ u = ( t |` ( 1 ... N ) ) ) -> ( ps <-> ph ) )
103	97, 99, 102	sbc2ie 3400	. . . . . . . 8 |- ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> ph )
104	103	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) -> ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> ph ) )
105	104	rabbiia 3095	. . . . . 6 |- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph }
106	105	rexeqi 3056	. . . . 5 |- ( E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) )
107	106	abbii 2594	. . . 4 |- { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) }
108	96, 107	syl6eq 2517	. . 3 |- ( N e. NN0 -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } )
109	108	adantr 465	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } )
110		simpl 457	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> N e. NN0 )
111		nn0z 10876	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
112		uzid 11085	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
113		peano2uz 11123	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
114	111, 112, 113	3syl 20	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
115	10, 114	syl5eqel 2552	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
116	115	adantr 465	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
117		simpr 461	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) )
118		diophrex 30300	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ( ZZ>= ` N ) /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } e. (Dioph ` N ) )
119	110, 116, 117, 118	syl3anc 1223	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } e. (Dioph ` N ) )
120	109, 119	eqeltrd 2548	1 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } e. (Dioph ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   {cab 2445   E.wrex 2808   {crab 2811   [.wsbc 3324   u. cun 3467   {csn 4020   <.cop 4026   |` cres 4994   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ^m cmap 7410   1c1 9482   + caddc 9484   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   ...cfz 11661  Diophcdioph 30279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361  df-mzpcl 30246  df-mzp 30247  df-dioph 30280

This theorem is referenced by:  rexfrabdioph  30319  elnn0rabdioph  30327  dvdsrabdioph  30334