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Theorem rexrabdioph 35549
Description: Diophantine set builder for existential quantification. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rexrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexrabdioph.2  |-  ( v  =  ( t `  M )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
rexrabdioph.3  |-  ( u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
Assertion
Ref Expression
rexrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    t, N, u, v    t, M, u, v    ph, u, v    ps, t    ch, v
Allowed substitution hints:    ph( t)    ps( v, u)    ch( u, t)

Proof of Theorem rexrabdioph
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2718 . . . . . 6  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) }
2 dfsbcq 3239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  ( [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
32cbvrexv 2992 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  E. c  e.  NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
43anbi2i 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. c  e.  NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
)
5 r19.42v 2917 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. c  e. 
NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
64, 5bitr4i 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
7 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
8 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
9 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
10 rexrabdioph.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  ( N  +  1 )
1110mapfzcons 35470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
a  u.  { <. M ,  c >. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )
127, 8, 9, 11syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
1312adantrr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
1410mapfzcons2 35473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  =  c )
158, 9, 14syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  =  c )
1615eqcomd 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  c  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
) )
1710mapfzcons1 35471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) )  =  a )
1817adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  =  a )
1918eqcomd 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
2019sbceq1d 3242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2116, 20sbceqbid 3244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `
 M )  / 
v ]. [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2221biimpd 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  ->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
2322impr 623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps )
2419adantrr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
25 fveq1 5819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
b `  M )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M ) )
26 reseq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
2726sbceq1d 3242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
2825, 27sbceqbid 3244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
2926eqeq2d 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  a  =  ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) ) ) )
3028, 29anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
( [. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) ) ) ) )
3130rspcev 3120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
3213, 23, 24, 31syl12anc 1262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
3332ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
3433rexlimdva 2851 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
35 elmapi 7443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  b : ( 1 ... M ) --> NN0 )
36 nn0p1nn 10855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
3710, 36syl5eqel 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
38 elfz1end 11775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
3937, 38sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
40 ffvelrn 5974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b : ( 1 ... M ) --> NN0 
/\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( b `  M )  e.  NN0 )
4135, 39, 40syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( b `  M
)  e.  NN0 )
4241adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( b `  M )  e.  NN0 )
43 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) ) )
4410mapfzcons1cl 35472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) )
4544ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
4643, 45eqeltrd 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
47 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps )
48 dfsbcq 3239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
4948sbcbidv 3292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. a  /  u ]. ps 
<-> 
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5049ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5147, 50mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
52 dfsbcq 3239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( b `  M )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
5352anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( b `  M )  ->  (
( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
5453rspcev 3120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b `  M
)  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
5542, 46, 51, 54syl12anc 1262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
5655ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
5756rexlimdva 2851 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
5834, 57impbid 193 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
596, 58syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
6059abbidv 2541 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. b  e. 
NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) } )
611, 60syl5eq 2469 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) } )
62 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ u
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
63 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
64 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ a E. v  e.  NN0  ps
65 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ u NN0
66 nfcv 2564 . . . . . . . 8  |-  F/_ u
b
67 nfsbc1v 3257 . . . . . . . 8  |-  F/ u [. a  /  u ]. ps
6866, 67nfsbc 3259 . . . . . . 7  |-  F/ u [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
6965, 68nfrex 2822 . . . . . 6  |-  F/ u E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
70 sbceq1a 3248 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  a  ->  ( ps 
<-> 
[. a  /  u ]. ps ) )
7170rexbidv 2873 . . . . . . 7  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ps  <->  E. v  e.  NN0  [. a  /  u ]. ps )
)
72 nfv 1755 . . . . . . . 8  |-  F/ b
[. a  /  u ]. ps
73 nfsbc1v 3257 . . . . . . . 8  |-  F/ v
[. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
74 sbceq1a 3248 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  b  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
7572, 73, 74cbvrex 2988 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  NN0  [. a  /  u ]. ps  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
7671, 75syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ps  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
)
7762, 63, 64, 69, 76cbvrab 3015 . . . . 5  |-  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }
78 fveq1 5819 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  b  ->  (
t `  M )  =  ( b `  M ) )
79 reseq1 5056 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  b  ->  (
t  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )
8079sbceq1d 3242 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
8178, 80sbceqbid 3244 . . . . . . 7  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
8281rexrab 3172 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
8382abbii 2539 . . . . 5  |-  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) }
8461, 77, 833eqtr4g 2482 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) } )
85 fvex 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( t `
 M )  e. 
_V
86 vex 3020 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
8786resex 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
88 rexrabdioph.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( t `  M )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
89 rexrabdioph.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
9088, 89sylan9bb 704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  ( t `
 M )  /\  u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ps  <->  ph ) )
9185, 87, 90sbc2ie 3305 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  ph )
9291a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  ph ) )
9392rabbiia 3005 . . . . . 6  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph }
9493rexeqi 2964 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  <->  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) ) )
9594abbii 2539 . . . 4  |-  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) }  =  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }
9684, 95syl6eq 2473 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) } )
9796adantr 466 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  =  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) } )
98 simpl 458 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
99 nn0z 10906 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
100 uzid 11119 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
101 peano2uz 11158 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
10299, 100, 1013syl 18 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
10310, 102syl5eqel 2505 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
104103adantr 466 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
105 simpr 462 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph }  e.  (Dioph `  M ) )
106 diophrex 35530 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }  e.  (Dioph `  N ) )
10798, 104, 105, 106syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }  e.  (Dioph `  N ) )
10897, 107eqeltrd 2501 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2409   E.wrex 2710   {crab 2713   [.wsbc 3237    u. cun 3372   {csn 3936   <.cop 3942    |` cres 4793   -->wf 5535   ` cfv 5539  (class class class)co 6244    ^m cmap 7422   1c1 9486    + caddc 9488   NNcn 10555   NN0cn0 10815   ZZcz 10883   ZZ>=cuz 11105   ...cfz 11730  Diophcdioph 35509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-of 6484  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-card 8320  df-cda 8544  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-fz 11731  df-hash 12461  df-mzpcl 35477  df-mzp 35478  df-dioph 35510
This theorem is referenced by:  rexfrabdioph  35550  elnn0rabdioph  35558  dvdsrabdioph  35565
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