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Theorem rexrabdioph 35089
Description: Diophantine set builder for existential quantification. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rexrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexrabdioph.2  |-  ( v  =  ( t `  M )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
rexrabdioph.3  |-  ( u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
Assertion
Ref Expression
rexrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    t, N, u, v    t, M, u, v    ph, u, v    ps, t    ch, v
Allowed substitution hints:    ph( t)    ps( v, u)    ch( u, t)

Proof of Theorem rexrabdioph
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2763 . . . . . 6  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }  =  { a  |  ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) }
2 dfsbcq 3279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  ( [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
32cbvrexv 3035 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  E. c  e.  NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
43anbi2i 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. c  e.  NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
)
5 r19.42v 2962 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. c  e. 
NN0  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
64, 5bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
7 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
8 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
9 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
10 rexrabdioph.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  ( N  +  1 )
1110mapfzcons 35010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
a  u.  { <. M ,  c >. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )
127, 8, 9, 11syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
1312adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) )
1410mapfzcons2 35013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  =  c )
158, 9, 14syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  =  c )
1615eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  c  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
) )
1710mapfzcons1 35011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) )  =  a )
1817adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  =  a )
1918eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
2019sbceq1d 3282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2116, 20sbceqbid 3284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `
 M )  / 
v ]. [. ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  ->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
2322impr 617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M )  /  v ]. [. ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps )
2419adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
25 fveq1 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
b `  M )  =  ( ( a  u.  { <. M , 
c >. } ) `  M ) )
26 reseq1 5088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) ) )
2726sbceq1d 3282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
2825, 27sbceqbid 3284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
2926eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  <->  a  =  ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) ) ) )
3028, 29anbi12d 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  ->  (
( [. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )  <->  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) ) ) ) )
3130rspcev 3160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  /\  ( [. (
( a  u.  { <. M ,  c >. } ) `  M
)  /  v ]. [. ( ( a  u. 
{ <. M ,  c
>. } )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( ( a  u.  { <. M ,  c >. } )  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
3213, 23, 24, 31syl12anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
3332ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
3433rexlimdva 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  ->  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
35 elmapi 7478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  b : ( 1 ... M ) --> NN0 )
36 nn0p1nn 10876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
3710, 36syl5eqel 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
38 elfz1end 11769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
3937, 38sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
40 ffvelrn 6007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b : ( 1 ... M ) --> NN0 
/\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( b `  M )  e.  NN0 )
4135, 39, 40syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( b `  M
)  e.  NN0 )
4241adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( b `  M )  e.  NN0 )
43 simprr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) ) )
4410mapfzcons1cl 35012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  (
b  |`  ( 1 ... N ) )  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) )
4544ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
4643, 45eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) )
47 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps )
48 dfsbcq 3279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
4948sbcbidv 3332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. a  /  u ]. ps 
<-> 
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5049ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps ) )
5147, 50mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
52 dfsbcq 3279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( b `  M )  ->  ( [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M )  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
5352anbi2d 702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( b `  M )  ->  (
( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
5453rspcev 3160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b `  M
)  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
5542, 46, 51, 54syl12anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) )  /\  ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
5655ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( [. (
b `  M )  /  v ]. [. (
b  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
5756rexlimdva 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )  ->  E. c  e.  NN0  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  [. c  / 
v ]. [. a  /  u ]. ps ) ) )
5834, 57impbid 190 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. c  e.  NN0  (
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  [. c  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
596, 58syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )  <->  E. b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) ) )
6059abbidv 2538 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { a  |  ( a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  /\  E. b  e. 
NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) } )
611, 60syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) ) ( [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) ) } )
62 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ u
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
63 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
64 nfv 1728 . . . . . 6  |-  F/ a E. v  e.  NN0  ps
65 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ u NN0
66 nfcv 2564 . . . . . . . 8  |-  F/_ u
b
67 nfsbc1v 3297 . . . . . . . 8  |-  F/ u [. a  /  u ]. ps
6866, 67nfsbc 3299 . . . . . . 7  |-  F/ u [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
6965, 68nfrex 2867 . . . . . 6  |-  F/ u E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
70 sbceq1a 3288 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  a  ->  ( ps 
<-> 
[. a  /  u ]. ps ) )
7170rexbidv 2918 . . . . . . 7  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ps  <->  E. v  e.  NN0  [. a  /  u ]. ps )
)
72 nfv 1728 . . . . . . . 8  |-  F/ b
[. a  /  u ]. ps
73 nfsbc1v 3297 . . . . . . . 8  |-  F/ v
[. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps
74 sbceq1a 3288 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  b  ->  ( [. a  /  u ]. ps  <->  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps ) )
7572, 73, 74cbvrex 3031 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  NN0  [. a  /  u ]. ps  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
7671, 75syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ps  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps )
)
7762, 63, 64, 69, 76cbvrab 3057 . . . . 5  |-  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. [. a  /  u ]. ps }
78 fveq1 5848 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  b  ->  (
t `  M )  =  ( b `  M ) )
79 reseq1 5088 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  b  ->  (
t  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) )
8079sbceq1d 3282 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
8178, 80sbceqbid 3284 . . . . . . 7  |-  ( t  =  b  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  [. ( b `  M
)  /  v ]. [. ( b  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps ) )
8281rexrab 3213 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  <->  E. b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) ) (
[. ( b `  M )  /  v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) )
8382abbii 2536 . . . . 5  |-  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) }  =  { a  |  E. b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) ) ( [. ( b `
 M )  / 
v ]. [. ( b  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps  /\  a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) ) }
8461, 77, 833eqtr4g 2468 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) } )
85 fvex 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( t `
 M )  e. 
_V
86 vex 3062 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
8786resex 5137 . . . . . . . . 9  |-  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
88 rexrabdioph.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( t `  M )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
89 rexrabdioph.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
9088, 89sylan9bb 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  ( t `
 M )  /\  u  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ps  <->  ph ) )
9185, 87, 90sbc2ie 3345 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  ph )
9291a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps  <->  ph ) )
9392rabbiia 3048 . . . . . 6  |-  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph }
9493rexeqi 3009 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) )  <->  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N ) ) )
9594abbii 2536 . . . 4  |-  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. ps } a  =  ( b  |`  (
1 ... N ) ) }  =  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }
9684, 95syl6eq 2459 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ps }  =  {
a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) } )
9796adantr 463 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  =  { a  |  E. b  e. 
{ t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) } )
98 simpl 455 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  N  e.  NN0 )
99 nn0z 10928 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
100 uzid 11141 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
101 peano2uz 11180 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
10299, 100, 1013syl 18 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
10310, 102syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
104103adantr 463 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
105 simpr 459 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  ph }  e.  (Dioph `  M ) )
106 diophrex 35070 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  {
t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }  e.  (Dioph `  N ) )
10798, 104, 105, 106syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  |  E. b  e.  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... M ) )  |  ph } a  =  ( b  |`  ( 1 ... N
) ) }  e.  (Dioph `  N ) )
10897, 107eqeltrd 2490 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   E.wrex 2755   {crab 2758   [.wsbc 3277    u. cun 3412   {csn 3972   <.cop 3978    |` cres 4825   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   1c1 9523    + caddc 9525   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726  Diophcdioph 35049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-hash 12453  df-mzpcl 35017  df-mzp 35018  df-dioph 35050
This theorem is referenced by:  rexfrabdioph  35090  elnn0rabdioph  35098  dvdsrabdioph  35105
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