Theorem rexpen 13818

Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that RR is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 8390 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rexpen	|- ( RR X. RR ) ~~ RR

Proof of Theorem rexpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen 13817	. . . . . 6 |- RR ~~ ~P NN
2		nnenom 12054	. . . . . . 7 |- NN ~~ om
3		pwen 7687	. . . . . . 7 |- ( NN ~~ om -> ~P NN ~~ ~P om )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ~P NN ~~ ~P om
5	1, 4	entri 7566	. . . . 5 |- RR ~~ ~P om
6		omex 8056	. . . . . 6 |- om e. _V
7	6	pw2en 7621	. . . . 5 |- ~P om ~~ ( 2o ^m om )
8	5, 7	entri 7566	. . . 4 |- RR ~~ ( 2o ^m om )
9		xpen 7677	. . . 4 |- ( ( RR ~~ ( 2o ^m om ) /\ RR ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( RR X. RR ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
10	8, 8, 9	mp2an 672	. . 3 |- ( RR X. RR ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
11		2onn 7286	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
12	11	elexi 3123	. . . . . . 7 |- 2o e. _V
13	12, 12, 6	xpmapen 7682	. . . . . 6 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
14	13	ensymi 7562	. . . . 5 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( ( 2o X. 2o ) ^m om )
15		ssid 3523	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o C_ 2o
16		ssnnfi 7736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ 2o C_ 2o ) -> 2o e. Fin )
17	11, 15, 16	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. Fin
18		xpfi 7787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o e. Fin /\ 2o e. Fin ) -> ( 2o X. 2o ) e. Fin )
19	17, 17, 18	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2o X. 2o ) e. Fin
20		isfinite 8065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2o X. 2o ) e. Fin <-> ( 2o X. 2o ) ~< om )
21	19, 20	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o X. 2o ) ~< om
22	6	canth2 7667	. . . . . . . . . 10 |- om ~< ~P om
23		sdomtr 7652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2o X. 2o ) ~< om /\ om ~< ~P om ) -> ( 2o X. 2o ) ~< ~P om )
24	21, 22, 23	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( 2o X. 2o ) ~< ~P om
25		sdomdom 7540	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o X. 2o ) ~< ~P om -> ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om
27		domentr 7571	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om /\ ~P om ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
28	26, 7, 27	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om )
29		mapdom1 7679	. . . . . . 7 |- ( ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om ) -> ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om )
31		mapxpen 7680	. . . . . . . 8 |- ( ( 2o e. om /\ om e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m ( om X. om ) ) )
32	11, 6, 6, 31	mp3an 1324	. . . . . . 7 |- ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m ( om X. om ) )
33	12	enref 7545	. . . . . . . 8 |- 2o ~~ 2o
34		xpomen 8389	. . . . . . . 8 |- ( om X. om ) ~~ om
35		mapen 7678	. . . . . . . 8 |- ( ( 2o ~~ 2o /\ ( om X. om ) ~~ om ) -> ( 2o ^m ( om X. om ) ) ~~ ( 2o ^m om ) )
36	33, 34, 35	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( 2o ^m ( om X. om ) ) ~~ ( 2o ^m om )
37	32, 36	entri 7566	. . . . . 6 |- ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m om )
38		domentr 7571	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) /\ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
39	30, 37, 38	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om )
40		endomtr 7570	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) /\ ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om ) ) -> ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
41	14, 39, 40	mp2an 672	. . . 4 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om )
42		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( 2o ^m om ) e. _V
43		0ex 4577	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
44	42, 43	xpsnen 7598	. . . . . 6 |- ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~~ ( 2o ^m om )
45	44	ensymi 7562	. . . . 5 |- ( 2o ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } )
46		snfi 7593	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. Fin
47		isfinite 8065	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. Fin <-> { (/) } ~< om )
48	46, 47	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- { (/) } ~< om
49		sdomtr 7652	. . . . . . . . 9 |- ( ( { (/) } ~< om /\ om ~< ~P om ) -> { (/) } ~< ~P om )
50	48, 22, 49	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- { (/) } ~< ~P om
51		sdomdom 7540	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } ~< ~P om -> { (/) } ~<_ ~P om )
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { (/) } ~<_ ~P om
53		domentr 7571	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } ~<_ ~P om /\ ~P om ~~ ( 2o ^m om ) ) -> { (/) } ~<_ ( 2o ^m om ) )
54	52, 7, 53	mp2an 672	. . . . . 6 |- { (/) } ~<_ ( 2o ^m om )
55	42	xpdom2 7609	. . . . . 6 |- ( { (/) } ~<_ ( 2o ^m om ) -> ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
57		endomtr 7570	. . . . 5 |- ( ( ( 2o ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) /\ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ) -> ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
58	45, 56, 57	mp2an 672	. . . 4 |- ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
59		sbth 7634	. . . 4 |- ( ( ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om ) /\ ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ) -> ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( 2o ^m om ) )
60	41, 58, 59	mp2an 672	. . 3 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( 2o ^m om )
61	10, 60	entri 7566	. 2 |- ( RR X. RR ) ~~ ( 2o ^m om )
62	61, 8	entr4i 7569	1 |- ( RR X. RR ) ~~ RR

Syntax hints:   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447   X. cxp 4997  (class class class)co 6282   omcom 6678   2oc2o 7121   ^m cmap 7417   ~~ cen 7510   ~<_ cdom 7511   ~< csdm 7512   Fincfn 7513   RRcr 9487   NNcn 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468

This theorem is referenced by:  cpnnen  13819