MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexpen Structured version   Unicode version

Theorem rexpen 13598
Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that  RR is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 8270 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexpen  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  RR

Proof of Theorem rexpen
StepHypRef Expression
1 rpnnen 13597 . . . . . 6  |-  RR  ~~  ~P NN
2 nnenom 11889 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
3 pwen 7570 . . . . . . 7  |-  ( NN 
~~  om  ->  ~P NN  ~~ 
~P om )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ~P NN  ~~ 
~P om
51, 4entri 7449 . . . . 5  |-  RR  ~~  ~P om
6 omex 7936 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
76pw2en 7504 . . . . 5  |-  ~P om  ~~  ( 2o  ^m  om )
85, 7entri 7449 . . . 4  |-  RR  ~~  ( 2o  ^m  om )
9 xpen 7560 . . . 4  |-  ( ( RR  ~~  ( 2o 
^m  om )  /\  RR  ~~  ( 2o  ^m  om ) )  ->  ( RR  X.  RR )  ~~  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) ) )
108, 8, 9mp2an 672 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )
11 2onn 7165 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
1211elexi 3064 . . . . . . 7  |-  2o  e.  _V
1312, 12, 6xpmapen 7565 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~~  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )
1413ensymi 7445 . . . . 5  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~~  (
( 2o  X.  2o )  ^m  om )
15 ssid 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  C_  2o
16 ssnnfi 7619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  2o  C_  2o )  ->  2o  e.  Fin )
1711, 15, 16mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  Fin
18 xpfi 7670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( 2o  X.  2o )  e.  Fin )
1917, 17, 18mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2o 
X.  2o )  e. 
Fin
20 isfinite 7945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2o  X.  2o )  e.  Fin  <->  ( 2o  X.  2o )  ~<  om )
2119, 20mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<  om
226canth2 7550 . . . . . . . . . 10  |-  om  ~<  ~P
om
23 sdomtr 7535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2o  X.  2o )  ~<  om  /\  om  ~<  ~P
om )  ->  ( 2o  X.  2o )  ~<  ~P om )
2421, 22, 23mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<  ~P om
25 sdomdom 7423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  X.  2o ) 
~<  ~P om  ->  ( 2o  X.  2o )  ~<_  ~P
om )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<_  ~P
om
27 domentr 7454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2o  X.  2o )  ~<_  ~P om  /\  ~P om  ~~  ( 2o  ^m  om ) )  ->  ( 2o  X.  2o )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
)
2826, 7, 27mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
29 mapdom1 7562 . . . . . . 7  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ~<_  ( 2o  ^m  om )  ->  ( ( 2o 
X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o 
^m  om )  ^m  om ) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )
31 mapxpen 7563 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  om  e.  _V  /\  om  e.  _V )  ->  (
( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  ( om  X.  om ) ) )
3211, 6, 6, 31mp3an 1315 . . . . . . 7  |-  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  ( om  X.  om ) )
3312enref 7428 . . . . . . . 8  |-  2o  ~~  2o
34 xpomen 8269 . . . . . . . 8  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
35 mapen 7561 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2o  ~~  2o  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( 2o  ^m  ( om  X.  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om ) )
3633, 34, 35mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
^m  ( om  X.  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om )
3732, 36entri 7449 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  om )
38 domentr 7454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  /\  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  om ) )  ->  (
( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
)
3930, 37, 38mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
40 endomtr 7453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )  ~~  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  /\  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
)  ->  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~<_  ( 2o 
^m  om ) )
4114, 39, 40mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~<_  ( 2o 
^m  om )
42 ovex 6201 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
^m  om )  e.  _V
43 0ex 4506 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
4442, 43xpsnen 7481 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~~  ( 2o  ^m  om )
4544ensymi 7445 . . . . 5  |-  ( 2o 
^m  om )  ~~  (
( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )
46 snfi 7476 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  Fin
47 isfinite 7945 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  <->  { (/)
}  ~<  om )
4846, 47mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  { (/) } 
~<  om
49 sdomtr 7535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { (/) }  ~<  om  /\  om 
~<  ~P om )  ->  { (/) }  ~<  ~P om )
5048, 22, 49mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  { (/) } 
~<  ~P om
51 sdomdom 7423 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  ~<  ~P om  ->  { (/) }  ~<_  ~P om )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { (/) }  ~<_  ~P om
53 domentr 7454 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  ~<_  ~P om  /\ 
~P om  ~~  ( 2o 
^m  om ) )  ->  { (/) }  ~<_  ( 2o 
^m  om ) )
5452, 7, 53mp2an 672 . . . . . 6  |-  { (/) }  ~<_  ( 2o  ^m  om )
5542xpdom2 7492 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  ~<_  ( 2o  ^m 
om )  ->  (
( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )
57 endomtr 7453 . . . . 5  |-  ( ( ( 2o  ^m  om )  ~~  ( ( 2o 
^m  om )  X.  { (/)
} )  /\  (
( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) ) )  ->  ( 2o  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o 
^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) ) )
5845, 56, 57mp2an 672 . . . 4  |-  ( 2o 
^m  om )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )
59 sbth 7517 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )  ~<_  ( 2o  ^m  om )  /\  ( 2o  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o 
^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) ) )  ->  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om ) )
6041, 58, 59mp2an 672 . . 3  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om )
6110, 60entri 7449 . 2  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  ( 2o  ^m  om )
6261, 8entr4i 7452 1  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1757   _Vcvv 3054    C_ wss 3412   (/)c0 3721   ~Pcpw 3944   {csn 3961   class class class wbr 4376    X. cxp 4922  (class class class)co 6176   omcom 6562   2oc2o 7000    ^m cmap 7300    ~~ cen 7393    ~<_ cdom 7394    ~< csdm 7395   Fincfn 7396   RRcr 9368   NNcn 10409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-omul 7011  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-acn 8199  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-fl 11729  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-limsup 13037  df-clim 13054  df-rlim 13055  df-sum 13252
This theorem is referenced by:  cpnnen  13599
  Copyright terms: Public domain W3C validator