MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexpen Structured version   Unicode version

Theorem rexpen 13835
Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that  RR is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 8394 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexpen  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  RR

Proof of Theorem rexpen
StepHypRef Expression
1 rpnnen 13834 . . . . . 6  |-  RR  ~~  ~P NN
2 nnenom 12066 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
3 pwen 7689 . . . . . . 7  |-  ( NN 
~~  om  ->  ~P NN  ~~ 
~P om )
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ~P NN  ~~ 
~P om
51, 4entri 7568 . . . . 5  |-  RR  ~~  ~P om
6 omex 8060 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
76pw2en 7623 . . . . 5  |-  ~P om  ~~  ( 2o  ^m  om )
85, 7entri 7568 . . . 4  |-  RR  ~~  ( 2o  ^m  om )
9 xpen 7679 . . . 4  |-  ( ( RR  ~~  ( 2o 
^m  om )  /\  RR  ~~  ( 2o  ^m  om ) )  ->  ( RR  X.  RR )  ~~  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) ) )
108, 8, 9mp2an 672 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )
11 2onn 7288 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
1211elexi 3103 . . . . . . 7  |-  2o  e.  _V
1312, 12, 6xpmapen 7684 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~~  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )
1413ensymi 7564 . . . . 5  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~~  (
( 2o  X.  2o )  ^m  om )
15 ssid 3506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  C_  2o
16 ssnnfi 7738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  2o  C_  2o )  ->  2o  e.  Fin )
1711, 15, 16mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  Fin
18 xpfi 7790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( 2o  X.  2o )  e.  Fin )
1917, 17, 18mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2o 
X.  2o )  e. 
Fin
20 isfinite 8069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2o  X.  2o )  e.  Fin  <->  ( 2o  X.  2o )  ~<  om )
2119, 20mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<  om
226canth2 7669 . . . . . . . . . 10  |-  om  ~<  ~P
om
23 sdomtr 7654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2o  X.  2o )  ~<  om  /\  om  ~<  ~P
om )  ->  ( 2o  X.  2o )  ~<  ~P om )
2421, 22, 23mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<  ~P om
25 sdomdom 7542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  X.  2o ) 
~<  ~P om  ->  ( 2o  X.  2o )  ~<_  ~P
om )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<_  ~P
om
27 domentr 7573 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2o  X.  2o )  ~<_  ~P om  /\  ~P om  ~~  ( 2o  ^m  om ) )  ->  ( 2o  X.  2o )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
)
2826, 7, 27mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
X.  2o )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
29 mapdom1 7681 . . . . . . 7  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ~<_  ( 2o  ^m  om )  ->  ( ( 2o 
X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o 
^m  om )  ^m  om ) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )
31 mapxpen 7682 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  om  e.  _V  /\  om  e.  _V )  ->  (
( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  ( om  X.  om ) ) )
3211, 6, 6, 31mp3an 1323 . . . . . . 7  |-  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  ( om  X.  om ) )
3312enref 7547 . . . . . . . 8  |-  2o  ~~  2o
34 xpomen 8393 . . . . . . . 8  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
35 mapen 7680 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2o  ~~  2o  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( 2o  ^m  ( om  X.  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om ) )
3633, 34, 35mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
^m  ( om  X.  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om )
3732, 36entri 7568 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  om )
38 domentr 7573 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  /\  ( ( 2o  ^m  om )  ^m  om )  ~~  ( 2o  ^m  om ) )  ->  (
( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
)
3930, 37, 38mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
40 endomtr 7572 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )  ~~  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  /\  ( ( 2o  X.  2o )  ^m  om )  ~<_  ( 2o  ^m  om )
)  ->  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~<_  ( 2o 
^m  om ) )
4114, 39, 40mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~<_  ( 2o 
^m  om )
42 ovex 6306 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
^m  om )  e.  _V
43 0ex 4564 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
4442, 43xpsnen 7600 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~~  ( 2o  ^m  om )
4544ensymi 7564 . . . . 5  |-  ( 2o 
^m  om )  ~~  (
( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )
46 snfi 7595 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  Fin
47 isfinite 8069 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  <->  { (/)
}  ~<  om )
4846, 47mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  { (/) } 
~<  om
49 sdomtr 7654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { (/) }  ~<  om  /\  om 
~<  ~P om )  ->  { (/) }  ~<  ~P om )
5048, 22, 49mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  { (/) } 
~<  ~P om
51 sdomdom 7542 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  ~<  ~P om  ->  { (/) }  ~<_  ~P om )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { (/) }  ~<_  ~P om
53 domentr 7573 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  ~<_  ~P om  /\ 
~P om  ~~  ( 2o 
^m  om ) )  ->  { (/) }  ~<_  ( 2o 
^m  om ) )
5452, 7, 53mp2an 672 . . . . . 6  |-  { (/) }  ~<_  ( 2o  ^m  om )
5542xpdom2 7611 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  ~<_  ( 2o  ^m 
om )  ->  (
( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )
57 endomtr 7572 . . . . 5  |-  ( ( ( 2o  ^m  om )  ~~  ( ( 2o 
^m  om )  X.  { (/)
} )  /\  (
( 2o  ^m  om )  X.  { (/) } )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) ) )  ->  ( 2o  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o 
^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) ) )
5845, 56, 57mp2an 672 . . . 4  |-  ( 2o 
^m  om )  ~<_  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )
59 sbth 7636 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o 
^m  om ) )  ~<_  ( 2o  ^m  om )  /\  ( 2o  ^m  om )  ~<_  ( ( 2o 
^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) ) )  ->  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om ) )
6041, 58, 59mp2an 672 . . 3  |-  ( ( 2o  ^m  om )  X.  ( 2o  ^m  om ) )  ~~  ( 2o  ^m  om )
6110, 60entri 7568 . 2  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  ( 2o  ^m  om )
6261, 8entr4i 7571 1  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1802   _Vcvv 3093    C_ wss 3459   (/)c0 3768   ~Pcpw 3994   {csn 4011   class class class wbr 4434    X. cxp 4984  (class class class)co 6278   omcom 6682   2oc2o 7123    ^m cmap 7419    ~~ cen 7512    ~<_ cdom 7513    ~< csdm 7514   Fincfn 7515   RRcr 9491   NNcn 10539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-omul 7134  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-ico 11541  df-icc 11542  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-fl 11905  df-seq 12084  df-exp 12143  df-hash 12382  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-limsup 13270  df-clim 13287  df-rlim 13288  df-sum 13485
This theorem is referenced by:  cpnnen  13836
  Copyright terms: Public domain W3C validator