Theorem rexpen 13598

Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that RR is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 8270 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rexpen	|- ( RR X. RR ) ~~ RR

Proof of Theorem rexpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen 13597	. . . . . 6 |- RR ~~ ~P NN
2		nnenom 11889	. . . . . . 7 |- NN ~~ om
3		pwen 7570	. . . . . . 7 |- ( NN ~~ om -> ~P NN ~~ ~P om )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ~P NN ~~ ~P om
5	1, 4	entri 7449	. . . . 5 |- RR ~~ ~P om
6		omex 7936	. . . . . 6 |- om e. _V
7	6	pw2en 7504	. . . . 5 |- ~P om ~~ ( 2o ^m om )
8	5, 7	entri 7449	. . . 4 |- RR ~~ ( 2o ^m om )
9		xpen 7560	. . . 4 |- ( ( RR ~~ ( 2o ^m om ) /\ RR ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( RR X. RR ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
10	8, 8, 9	mp2an 672	. . 3 |- ( RR X. RR ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
11		2onn 7165	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
12	11	elexi 3064	. . . . . . 7 |- 2o e. _V
13	12, 12, 6	xpmapen 7565	. . . . . 6 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
14	13	ensymi 7445	. . . . 5 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( ( 2o X. 2o ) ^m om )
15		ssid 3459	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o C_ 2o
16		ssnnfi 7619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ 2o C_ 2o ) -> 2o e. Fin )
17	11, 15, 16	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. Fin
18		xpfi 7670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o e. Fin /\ 2o e. Fin ) -> ( 2o X. 2o ) e. Fin )
19	17, 17, 18	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2o X. 2o ) e. Fin
20		isfinite 7945	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2o X. 2o ) e. Fin <-> ( 2o X. 2o ) ~< om )
21	19, 20	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o X. 2o ) ~< om
22	6	canth2 7550	. . . . . . . . . 10 |- om ~< ~P om
23		sdomtr 7535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2o X. 2o ) ~< om /\ om ~< ~P om ) -> ( 2o X. 2o ) ~< ~P om )
24	21, 22, 23	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( 2o X. 2o ) ~< ~P om
25		sdomdom 7423	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o X. 2o ) ~< ~P om -> ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om
27		domentr 7454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om /\ ~P om ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
28	26, 7, 27	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om )
29		mapdom1 7562	. . . . . . 7 |- ( ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om ) -> ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om )
31		mapxpen 7563	. . . . . . . 8 |- ( ( 2o e. om /\ om e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m ( om X. om ) ) )
32	11, 6, 6, 31	mp3an 1315	. . . . . . 7 |- ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m ( om X. om ) )
33	12	enref 7428	. . . . . . . 8 |- 2o ~~ 2o
34		xpomen 8269	. . . . . . . 8 |- ( om X. om ) ~~ om
35		mapen 7561	. . . . . . . 8 |- ( ( 2o ~~ 2o /\ ( om X. om ) ~~ om ) -> ( 2o ^m ( om X. om ) ) ~~ ( 2o ^m om ) )
36	33, 34, 35	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( 2o ^m ( om X. om ) ) ~~ ( 2o ^m om )
37	32, 36	entri 7449	. . . . . 6 |- ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m om )
38		domentr 7454	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) /\ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
39	30, 37, 38	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om )
40		endomtr 7453	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) /\ ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om ) ) -> ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
41	14, 39, 40	mp2an 672	. . . 4 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om )
42		ovex 6201	. . . . . . 7 |- ( 2o ^m om ) e. _V
43		0ex 4506	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
44	42, 43	xpsnen 7481	. . . . . 6 |- ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~~ ( 2o ^m om )
45	44	ensymi 7445	. . . . 5 |- ( 2o ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } )
46		snfi 7476	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. Fin
47		isfinite 7945	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. Fin <-> { (/) } ~< om )
48	46, 47	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- { (/) } ~< om
49		sdomtr 7535	. . . . . . . . 9 |- ( ( { (/) } ~< om /\ om ~< ~P om ) -> { (/) } ~< ~P om )
50	48, 22, 49	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- { (/) } ~< ~P om
51		sdomdom 7423	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } ~< ~P om -> { (/) } ~<_ ~P om )
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { (/) } ~<_ ~P om
53		domentr 7454	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } ~<_ ~P om /\ ~P om ~~ ( 2o ^m om ) ) -> { (/) } ~<_ ( 2o ^m om ) )
54	52, 7, 53	mp2an 672	. . . . . 6 |- { (/) } ~<_ ( 2o ^m om )
55	42	xpdom2 7492	. . . . . 6 |- ( { (/) } ~<_ ( 2o ^m om ) -> ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
57		endomtr 7453	. . . . 5 |- ( ( ( 2o ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) /\ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ) -> ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
58	45, 56, 57	mp2an 672	. . . 4 |- ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
59		sbth 7517	. . . 4 |- ( ( ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om ) /\ ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ) -> ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( 2o ^m om ) )
60	41, 58, 59	mp2an 672	. . 3 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( 2o ^m om )
61	10, 60	entri 7449	. 2 |- ( RR X. RR ) ~~ ( 2o ^m om )
62	61, 8	entr4i 7452	1 |- ( RR X. RR ) ~~ RR

Syntax hints:   e. wcel 1757   _Vcvv 3054   C_ wss 3412   (/)c0 3721   ~Pcpw 3944   {csn 3961   class class class wbr 4376   X. cxp 4922  (class class class)co 6176   omcom 6562   2oc2o 7000   ^m cmap 7300   ~~ cen 7393   ~<_ cdom 7394   ~< csdm 7395   Fincfn 7396   RRcr 9368   NNcn 10409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-omul 7011  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-acn 8199  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-fl 11729  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-limsup 13037  df-clim 13054  df-rlim 13055  df-sum 13252

This theorem is referenced by:  cpnnen  13599