Theorem rexpen 13835

Description: The real numbers are equinumerous to their own Cartesian product, even though it is not necessarily true that RR is well-orderable (so we cannot use infxpidm2 8394 directly). (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rexpen	|- ( RR X. RR ) ~~ RR

Proof of Theorem rexpen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen 13834	. . . . . 6 |- RR ~~ ~P NN
2		nnenom 12066	. . . . . . 7 |- NN ~~ om
3		pwen 7689	. . . . . . 7 |- ( NN ~~ om -> ~P NN ~~ ~P om )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ~P NN ~~ ~P om
5	1, 4	entri 7568	. . . . 5 |- RR ~~ ~P om
6		omex 8060	. . . . . 6 |- om e. _V
7	6	pw2en 7623	. . . . 5 |- ~P om ~~ ( 2o ^m om )
8	5, 7	entri 7568	. . . 4 |- RR ~~ ( 2o ^m om )
9		xpen 7679	. . . 4 |- ( ( RR ~~ ( 2o ^m om ) /\ RR ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( RR X. RR ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
10	8, 8, 9	mp2an 672	. . 3 |- ( RR X. RR ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
11		2onn 7288	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
12	11	elexi 3103	. . . . . . 7 |- 2o e. _V
13	12, 12, 6	xpmapen 7684	. . . . . 6 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
14	13	ensymi 7564	. . . . 5 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( ( 2o X. 2o ) ^m om )
15		ssid 3506	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o C_ 2o
16		ssnnfi 7738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ 2o C_ 2o ) -> 2o e. Fin )
17	11, 15, 16	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. Fin
18		xpfi 7790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o e. Fin /\ 2o e. Fin ) -> ( 2o X. 2o ) e. Fin )
19	17, 17, 18	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2o X. 2o ) e. Fin
20		isfinite 8069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2o X. 2o ) e. Fin <-> ( 2o X. 2o ) ~< om )
21	19, 20	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( 2o X. 2o ) ~< om
22	6	canth2 7669	. . . . . . . . . 10 |- om ~< ~P om
23		sdomtr 7654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2o X. 2o ) ~< om /\ om ~< ~P om ) -> ( 2o X. 2o ) ~< ~P om )
24	21, 22, 23	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( 2o X. 2o ) ~< ~P om
25		sdomdom 7542	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o X. 2o ) ~< ~P om -> ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om
27		domentr 7573	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2o X. 2o ) ~<_ ~P om /\ ~P om ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
28	26, 7, 27	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om )
29		mapdom1 7681	. . . . . . 7 |- ( ( 2o X. 2o ) ~<_ ( 2o ^m om ) -> ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om )
31		mapxpen 7682	. . . . . . . 8 |- ( ( 2o e. om /\ om e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m ( om X. om ) ) )
32	11, 6, 6, 31	mp3an 1323	. . . . . . 7 |- ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m ( om X. om ) )
33	12	enref 7547	. . . . . . . 8 |- 2o ~~ 2o
34		xpomen 8393	. . . . . . . 8 |- ( om X. om ) ~~ om
35		mapen 7680	. . . . . . . 8 |- ( ( 2o ~~ 2o /\ ( om X. om ) ~~ om ) -> ( 2o ^m ( om X. om ) ) ~~ ( 2o ^m om ) )
36	33, 34, 35	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( 2o ^m ( om X. om ) ) ~~ ( 2o ^m om )
37	32, 36	entri 7568	. . . . . 6 |- ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m om )
38		domentr 7573	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) /\ ( ( 2o ^m om ) ^m om ) ~~ ( 2o ^m om ) ) -> ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
39	30, 37, 38	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om )
40		endomtr 7572	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) /\ ( ( 2o X. 2o ) ^m om ) ~<_ ( 2o ^m om ) ) -> ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om ) )
41	14, 39, 40	mp2an 672	. . . 4 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om )
42		ovex 6306	. . . . . . 7 |- ( 2o ^m om ) e. _V
43		0ex 4564	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
44	42, 43	xpsnen 7600	. . . . . 6 |- ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~~ ( 2o ^m om )
45	44	ensymi 7564	. . . . 5 |- ( 2o ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } )
46		snfi 7595	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. Fin
47		isfinite 8069	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. Fin <-> { (/) } ~< om )
48	46, 47	mpbi 208	. . . . . . . . 9 |- { (/) } ~< om
49		sdomtr 7654	. . . . . . . . 9 |- ( ( { (/) } ~< om /\ om ~< ~P om ) -> { (/) } ~< ~P om )
50	48, 22, 49	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- { (/) } ~< ~P om
51		sdomdom 7542	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } ~< ~P om -> { (/) } ~<_ ~P om )
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { (/) } ~<_ ~P om
53		domentr 7573	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } ~<_ ~P om /\ ~P om ~~ ( 2o ^m om ) ) -> { (/) } ~<_ ( 2o ^m om ) )
54	52, 7, 53	mp2an 672	. . . . . 6 |- { (/) } ~<_ ( 2o ^m om )
55	42	xpdom2 7611	. . . . . 6 |- ( { (/) } ~<_ ( 2o ^m om ) -> ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
57		endomtr 7572	. . . . 5 |- ( ( ( 2o ^m om ) ~~ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) /\ ( ( 2o ^m om ) X. { (/) } ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ) -> ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) )
58	45, 56, 57	mp2an 672	. . . 4 |- ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) )
59		sbth 7636	. . . 4 |- ( ( ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~<_ ( 2o ^m om ) /\ ( 2o ^m om ) ~<_ ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ) -> ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( 2o ^m om ) )
60	41, 58, 59	mp2an 672	. . 3 |- ( ( 2o ^m om ) X. ( 2o ^m om ) ) ~~ ( 2o ^m om )
61	10, 60	entri 7568	. 2 |- ( RR X. RR ) ~~ ( 2o ^m om )
62	61, 8	entr4i 7571	1 |- ( RR X. RR ) ~~ RR

Syntax hints:   e. wcel 1802   _Vcvv 3093   C_ wss 3459   (/)c0 3768   ~Pcpw 3994   {csn 4011   class class class wbr 4434   X. cxp 4984  (class class class)co 6278   omcom 6682   2oc2o 7123   ^m cmap 7419   ~~ cen 7512   ~<_ cdom 7513   ~< csdm 7514   Fincfn 7515   RRcr 9491   NNcn 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-omul 7134  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-ico 11541  df-icc 11542  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-fl 11905  df-seq 12084  df-exp 12143  df-hash 12382  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-limsup 13270  df-clim 13287  df-rlim 13288  df-sum 13485

This theorem is referenced by:  cpnnen  13836