MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Structured version   Unicode version

Theorem rexico 13416
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    ph, j
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
2 pnfxr 11419 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
3 icossre 11722 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B [,) +oo )  C_  RR )
41, 2, 3sylancl 666 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,) +oo )  C_  RR )
5 ssrexv 3526 . . 3  |-  ( ( B [,) +oo )  C_  RR  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
7 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  j  e.  RR )
8 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
97, 8ifcld 3954 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  RR )
10 max1 11487 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  j ,  j ,  B ) )
1110adantll 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  j ,  j ,  B ) )
12 elicopnf 11737 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  RR  /\  B  <_  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B ) ) ) )
1312ad2antlr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  j , 
j ,  B )  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( if ( B  <_  j , 
j ,  B )  e.  RR  /\  B  <_  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B ) ) ) )
149, 11, 13mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  ( B [,) +oo ) )
158adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
16 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  j  e.  RR )
17 simpll 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1817sselda 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  k  e.  RR )
19 maxle 11492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
2015, 16, 18, 19syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
21 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  k  /\  j  <_  k )  -> 
j  <_  k )
2220, 21syl6bi 231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  j  <_  k ) )
2322imim1d 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ph )  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2423ralimdva 2830 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  A. k  e.  A  ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph ) ) )
25 breq1 4426 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( n  <_  k  <->  if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  <_  k )
)
2625imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( ( n  <_ 
k  ->  ph )  <->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2726ralbidv 2861 . . . . . 6  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( A. k  e.  A  ( n  <_ 
k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2827rspcev 3182 . . . . 5  |-  ( ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  e.  ( B [,) +oo )  /\  A. k  e.  A  ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph ) )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph ) )
2914, 24, 28syl6an 547 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph ) ) )
3029rexlimdva 2914 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
31 breq1 4426 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  k  <->  j  <_  k ) )
3231imbi1d 318 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3332ralbidv 2861 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3433cbvrexv 3055 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
3530, 34syl6ib 229 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
366, 35impbid 193 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772    C_ wss 3436   ifcif 3911   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681    <_ cle 9683   [,)cico 11644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-ico 11648
This theorem is referenced by:  rlimi2  13577  ello1mpt2  13585  dvfsumrlim  22981
  Copyright terms: Public domain W3C validator