MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Structured version   Unicode version

Theorem rexico 13242
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    ph, j
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
2 pnfxr 11292 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
3 icossre 11576 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B [,) +oo )  C_  RR )
41, 2, 3sylancl 660 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B [,) +oo )  C_  RR )
5 ssrexv 3503 . . 3  |-  ( ( B [,) +oo )  C_  RR  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) ) )
7 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  j  e.  RR )
8 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
97, 8ifcld 3927 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  RR )
10 max1 11357 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  j ,  j ,  B ) )
1110adantll 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  j ,  j ,  B ) )
12 elicopnf 11591 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  RR  /\  B  <_  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B ) ) ) )
1312ad2antlr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  j , 
j ,  B )  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( if ( B  <_  j , 
j ,  B )  e.  RR  /\  B  <_  if ( B  <_ 
j ,  j ,  B ) ) ) )
149, 11, 13mpbir2and 923 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  e.  ( B [,) +oo ) )
158adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
16 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  j  e.  RR )
17 simpll 752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
1817sselda 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  k  e.  RR )
19 maxle 11362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
2015, 16, 18, 19syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  <->  ( B  <_  k  /\  j  <_ 
k ) ) )
21 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  k  /\  j  <_  k )  -> 
j  <_  k )
2220, 21syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  j  <_  k ) )
2322imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  ( (
j  <_  k  ->  ph )  ->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2423ralimdva 2811 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  A. k  e.  A  ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph ) ) )
25 breq1 4397 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( n  <_  k  <->  if ( B  <_  j ,  j ,  B
)  <_  k )
)
2625imbi1d 315 . . . . . . 7  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( ( n  <_ 
k  ->  ph )  <->  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2726ralbidv 2842 . . . . . 6  |-  ( n  =  if ( B  <_  j ,  j ,  B )  -> 
( A. k  e.  A  ( n  <_ 
k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( if ( B  <_  j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph )
) )
2827rspcev 3159 . . . . 5  |-  ( ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  e.  ( B [,) +oo )  /\  A. k  e.  A  ( if ( B  <_ 
j ,  j ,  B )  <_  k  ->  ph ) )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph ) )
2914, 24, 28syl6an 543 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph ) ) )
3029rexlimdva 2895 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph ) ) )
31 breq1 4397 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  k  <->  j  <_  k ) )
3231imbi1d 315 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( n  <_  k  ->  ph )  <->  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3332ralbidv 2842 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( A. k  e.  A  ( n  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
3433cbvrexv 3034 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
n  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
3530, 34syl6ib 226 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  ->  E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
366, 35impbid 191 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  ( B [,) +oo ) A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754    C_ wss 3413   ifcif 3884   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   RRcr 9441   +oocpnf 9575   RR*cxr 9577    <_ cle 9579   [,)cico 11502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-ico 11506
This theorem is referenced by:  rlimi2  13393  ello1mpt2  13401  dvfsumrlim  22616
  Copyright terms: Public domain W3C validator