Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexfrabdioph Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rexfrabdioph 35709
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    u, t,
v, M    t, N, u, v    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( v, u)

Proof of Theorem rexfrabdioph
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2612 . . 3  |-  F/_ u
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
2 nfcv 2612 . . 3  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
3 nfv 1769 . . 3  |-  F/ a E. v  e.  NN0  ph
4 nfcv 2612 . . . 4  |-  F/_ u NN0
5 nfsbc1v 3275 . . . 4  |-  F/ u [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph
64, 5nfrex 2848 . . 3  |-  F/ u E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph
7 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ b
ph
8 nfsbc1v 3275 . . . . 5  |-  F/ v
[. b  /  v ]. ph
9 sbceq1a 3266 . . . . 5  |-  ( v  =  b  ->  ( ph 
<-> 
[. b  /  v ]. ph ) )
107, 8, 9cbvrex 3002 . . . 4  |-  ( E. v  e.  NN0  ph  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. ph )
11 sbceq1a 3266 . . . . 5  |-  ( u  =  a  ->  ( [. b  /  v ]. ph  <->  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph ) )
1211rexbidv 2892 . . . 4  |-  ( u  =  a  ->  ( E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. ph  <->  E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph )
)
1310, 12syl5bb 265 . . 3  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ph  <->  E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph )
)
141, 2, 3, 6, 13cbvrab 3029 . 2  |-  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ph }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph }
15 rexfrabdioph.1 . . 3  |-  M  =  ( N  +  1 )
16 dfsbcq 3257 . . . 4  |-  ( b  =  ( t `  M )  ->  ( [. b  /  v ]. ph  <->  [. ( t `  M )  /  v ]. ph ) )
1716sbcbidv 3310 . . 3  |-  ( b  =  ( t `  M )  ->  ( [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph  <->  [. a  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph ) )
18 dfsbcq 3257 . . 3  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph ) )
1915, 17, 18rexrabdioph 35708 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  N ) )
2014, 19syl5eqel 2553 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   {crab 2760   [.wsbc 3255    |` cres 4841   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   1c1 9558    + caddc 9560   NN0cn0 10893   ...cfz 11810  Diophcdioph 35668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-mzpcl 35636  df-mzp 35637  df-dioph 35669
This theorem is referenced by:  2rexfrabdioph  35710  3rexfrabdioph  35711  7rexfrabdioph  35714  rmxdioph  35942  expdiophlem2  35948
  Copyright terms: Public domain W3C validator