Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexfrabdioph Structured version   Unicode version

Theorem rexfrabdioph 30183
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    u, t,
v, M    t, N, u, v    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( v, u)

Proof of Theorem rexfrabdioph
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2622 . . 3  |-  F/_ u
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
2 nfcv 2622 . . 3  |-  F/_ a
( NN0  ^m  (
1 ... N ) )
3 nfv 1678 . . 3  |-  F/ a E. v  e.  NN0  ph
4 nfcv 2622 . . . 4  |-  F/_ u NN0
5 nfsbc1v 3344 . . . 4  |-  F/ u [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph
64, 5nfrex 2920 . . 3  |-  F/ u E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph
7 nfv 1678 . . . . 5  |-  F/ b
ph
8 nfsbc1v 3344 . . . . 5  |-  F/ v
[. b  /  v ]. ph
9 sbceq1a 3335 . . . . 5  |-  ( v  =  b  ->  ( ph 
<-> 
[. b  /  v ]. ph ) )
107, 8, 9cbvrex 3078 . . . 4  |-  ( E. v  e.  NN0  ph  <->  E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. ph )
11 sbceq1a 3335 . . . . 5  |-  ( u  =  a  ->  ( [. b  /  v ]. ph  <->  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph ) )
1211rexbidv 2966 . . . 4  |-  ( u  =  a  ->  ( E. b  e.  NN0  [. b  /  v ]. ph  <->  E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph )
)
1310, 12syl5bb 257 . . 3  |-  ( u  =  a  ->  ( E. v  e.  NN0  ph  <->  E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph )
)
141, 2, 3, 6, 13cbvrab 3104 . 2  |-  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  ph }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e.  NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph }
15 rexfrabdioph.1 . . 3  |-  M  =  ( N  +  1 )
16 dfsbcq 3326 . . . 4  |-  ( b  =  ( t `  M )  ->  ( [. b  /  v ]. ph  <->  [. ( t `  M )  /  v ]. ph ) )
1716sbcbidv 3383 . . 3  |-  ( b  =  ( t `  M )  ->  ( [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph  <->  [. a  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph ) )
18 dfsbcq 3326 . . 3  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. a  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph ) )
1915, 17, 18rexrabdioph 30182 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. b  e. 
NN0  [. a  /  u ]. [. b  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  N ) )
2014, 19syl5eqel 2552 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808   {crab 2811   [.wsbc 3324    |` cres 4994   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^m cmap 7410   1c1 9482    + caddc 9484   NN0cn0 10784   ...cfz 11661  Diophcdioph 30143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361  df-mzpcl 30110  df-mzp 30111  df-dioph 30144
This theorem is referenced by:  2rexfrabdioph  30184  3rexfrabdioph  30185  7rexfrabdioph  30188  rmxdioph  30415  expdiophlem2  30421
  Copyright terms: Public domain W3C validator