MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexfiuz Structured version   Unicode version

Theorem rexfiuz 13131
Description: Combine finitely many different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
rexfiuz  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, n, A    ph, j
Allowed substitution hints:    ph( k, n)

Proof of Theorem rexfiuz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3053 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  (/)  ph )
)
21rexralbidv 2976 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )
)
3 raleq 3053 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
42, 3bibi12d 321 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph  <->  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
5 raleq 3053 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  y  ph ) )
65rexralbidv 2976 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph ) )
7 raleq 3053 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
86, 7bibi12d 321 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph 
<-> 
A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
9 raleq 3053 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
109rexralbidv 2976 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
11 raleq 3053 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
1210, 11bibi12d 321 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (
y  u.  { z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
13 raleq 3053 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  A  ph ) )
1413rexralbidv 2976 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph ) )
15 raleq 3053 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
1614, 15bibi12d 321 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
17 0z 10866 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
18 ne0i 3786 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ZZ  =/=  (/) )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  ZZ  =/=  (/)
20 ral0 3927 . . . . 5  |-  A. n  e.  (/)  ph
2120rgen2w 2821 . . . 4  |-  A. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph
22 r19.2z 3912 . . . 4  |-  ( ( ZZ  =/=  (/)  /\  A. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )
2319, 21, 22mp2an 672 . . 3  |-  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph
24 ral0 3927 . . 3  |-  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph
2523, 242th 239 . 2  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph  <->  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
26 anbi1 706 . . . 4  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
27 rexanuz 13129 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
28 ralunb 3680 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } )
ph 
<->  ( A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } ph ) )
2928ralbii 2890 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )
)
3029rexbii 2960 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )
)
31 vex 3111 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
32 ralsnsg 4054 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
[. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
33 ralcom 3017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  A. n  e.  { z } A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
34 ralsnsg 4054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
[. z  /  n ]. A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph ) )
3533, 34syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  [. z  /  n ]. A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph ) )
3635rexbidv 2968 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  E. j  e.  ZZ  [. z  /  n ]. A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
37 sbcrex 3411 . . . . . . . . 9  |-  ( [. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<->  E. j  e.  ZZ  [. z  /  n ]. A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph )
3836, 37syl6rbbr 264 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
3932, 38bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
4031, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph )
4140anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
4227, 30, 413bitr4i 277 . . . 4  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
43 ralunb 3680 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  ( A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. n  e. 
{ z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
4426, 42, 433bitr4g 288 . . 3  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
4544a1i 11 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph 
<-> 
A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (
y  u.  { z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
464, 8, 12, 16, 25, 45findcard2 7751 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   _Vcvv 3108   [.wsbc 3326    u. cun 3469   (/)c0 3780   {csn 4022   ` cfv 5581   Fincfn 7508   0cc0 9483   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-om 6674  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-neg 9799  df-z 10856  df-uz 11074
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  21727  rrncmslem  29920
  Copyright terms: Public domain W3C validator