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Theorem rexanuz2 13161
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexanuz2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)    M( k)

Proof of Theorem rexanuz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11095 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 rexuz3.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleq2s 2551 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
43a1d 25 . . 3  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ ) )
54rexlimiv 2929 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  ->  M  e.  ZZ )
63a1d 25 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  M  e.  ZZ ) )
76rexlimiv 2929 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  M  e.  ZZ )
87adantr 465 . 2  |-  ( ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps )  ->  M  e.  ZZ )
92rexuz3 13160 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) ) )
102rexuz3 13160 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
112rexuz3 13160 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
1210, 11anbi12d 710 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) ) )
13 rexanuz 13157 . . . 4  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
1412, 13syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
) )
159, 14bitrd 253 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps ) ) )
165, 8, 15pm5.21nii 353 1  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   ` cfv 5578   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-neg 9813  df-z 10871  df-uz 11091
This theorem is referenced by:  climuni  13354  2clim  13374  climcn2  13394  lmmo  19754  txlm  20022  cmetcaulem  21600  iscmet3lem2  21604  ulmdvlem3  22669  stoweidlem7  31678
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