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Theorem rexanuz2 13131
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
rexanuz2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)    M( k)

Proof of Theorem rexanuz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11076 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 rexuz3.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleq2s 2568 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
43a1d 25 . . 3  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ ) )
54rexlimiv 2942 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  ->  M  e.  ZZ )
63a1d 25 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  M  e.  ZZ ) )
76rexlimiv 2942 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  M  e.  ZZ )
87adantr 465 . 2  |-  ( ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps )  ->  M  e.  ZZ )
92rexuz3 13130 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) ) )
102rexuz3 13130 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
112rexuz3 13130 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
1210, 11anbi12d 710 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) ) )
13 rexanuz 13127 . . . 4  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
1412, 13syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
) )
159, 14bitrd 253 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) (
ph  /\  ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ps ) ) )
165, 8, 15pm5.21nii 353 1  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   ` cfv 5579   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-neg 9797  df-z 10854  df-uz 11072
This theorem is referenced by:  climuni  13324  2clim  13344  climcn2  13364  lmmo  19640  txlm  19877  cmetcaulem  21455  iscmet3lem2  21459  ulmdvlem3  22524  stoweidlem7  31126
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