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Theorem rexanuz 13157
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
Distinct variable groups:    j, k    ph, j    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)

Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2970 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
21rexbii 2945 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  E. j  e.  ZZ  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
3 r19.40 2994 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
42, 3sylbi 195 . 2  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
5 uzf 11093 . . . 4  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5721 . . . 4  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
7 raleq 3040 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  x  ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
87rexrn 6018 . . . 4  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
95, 6, 8mp2b 10 . . 3  |-  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
10 raleq 3040 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  y  ps  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
1110rexrn 6018 . . . 4  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
125, 6, 11mp2b 10 . . 3  |-  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
13 uzin2 13156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  y  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ran  ZZ>= )
14 inss1 3703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
15 ssralv 3549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  x  ->  ( A. k  e.  x  ph 
->  A. k  e.  ( x  i^i  y )
ph ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  x  ph  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y )
ph )
17 inss2 3704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
18 ssralv 3549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  y  ->  ( A. k  e.  y  ps  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  y  ps  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps )
2016, 19anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  x  ph 
/\  A. k  e.  y  ps )  ->  ( A. k  e.  (
x  i^i  y ) ph  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y
) ps ) )
21 r19.26 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( x  i^i  y ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( A. k  e.  ( x  i^i  y ) ph  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps ) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  x  ph 
/\  A. k  e.  y  ps )  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y
) ( ph  /\  ps ) )
23 raleq 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i  y )  ->  ( A. k  e.  z 
( ph  /\  ps )  <->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) (
ph  /\  ps )
) )
2423rspcev 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y ) (
ph  /\  ps )
)  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2513, 22, 24syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  y  e.  ran  ZZ>= )  /\  ( A. k  e.  x  ph  /\  A. k  e.  y  ps ) )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2625an4s 826 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\ 
A. k  e.  x  ph )  /\  ( y  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  y  ps ) )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2726rexlimdvaa 2936 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  x  ph )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) ) )
2827rexlimiva 2931 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) ) )
2928imp 429 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  /\ 
E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
30 raleq 3040 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  z  ( ph  /\  ps )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
) )
3130rexrn 6018 . . . . 5  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\ 
ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
) )
325, 6, 31mp2b 10 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
3329, 32sylib 196 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  /\ 
E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
349, 12, 33syl2anbr 480 . 2  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) )
354, 34impbii 188 1  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   ran crn 4990    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-neg 9813  df-z 10871  df-uz 11091
This theorem is referenced by:  rexfiuz  13159  rexuz3  13160  rexanuz2  13161
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