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Theorem rexanuz 13127
Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
rexanuz  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
Distinct variable groups:    j, k    ph, j    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)

Proof of Theorem rexanuz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2982 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
21rexbii 2958 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  E. j  e.  ZZ  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
3 r19.40 3005 . . 3  |-  ( E. j  e.  ZZ  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ps )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
42, 3sylbi 195 . 2  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
5 uzf 11074 . . . 4  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5722 . . . 4  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
7 raleq 3051 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  x  ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
87rexrn 6014 . . . 4  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
95, 6, 8mp2b 10 . . 3  |-  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
10 raleq 3051 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  y  ps  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
)
1110rexrn 6014 . . . 4  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
125, 6, 11mp2b 10 . . 3  |-  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )
13 uzin2 13126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  y  e.  ran  ZZ>= )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ran  ZZ>= )
14 inss1 3711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
15 ssralv 3557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  x  ->  ( A. k  e.  x  ph 
->  A. k  e.  ( x  i^i  y )
ph ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  x  ph  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y )
ph )
17 inss2 3712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
18 ssralv 3557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  y  ->  ( A. k  e.  y  ps  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  y  ps  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps )
2016, 19anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  x  ph 
/\  A. k  e.  y  ps )  ->  ( A. k  e.  (
x  i^i  y ) ph  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y
) ps ) )
21 r19.26 2982 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( x  i^i  y ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( A. k  e.  ( x  i^i  y ) ph  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y ) ps ) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  x  ph 
/\  A. k  e.  y  ps )  ->  A. k  e.  ( x  i^i  y
) ( ph  /\  ps ) )
23 raleq 3051 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i  y )  ->  ( A. k  e.  z 
( ph  /\  ps )  <->  A. k  e.  ( x  i^i  y ) (
ph  /\  ps )
) )
2423rspcev 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  ( x  i^i  y ) (
ph  /\  ps )
)  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2513, 22, 24syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  y  e.  ran  ZZ>= )  /\  ( A. k  e.  x  ph  /\  A. k  e.  y  ps ) )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2625an4s 823 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\ 
A. k  e.  x  ph )  /\  ( y  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  y  ps ) )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
2726rexlimdvaa 2949 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ran  ZZ>=  /\  A. k  e.  x  ph )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) ) )
2827rexlimiva 2944 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) ) )
2928imp 429 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  /\ 
E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps )  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps ) )
30 raleq 3051 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  z  ( ph  /\  ps )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
) )
3130rexrn 6014 . . . . 5  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\ 
ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
) )
325, 6, 31mp2b 10 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  z  ( ph  /\  ps )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
3329, 32sylib 196 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  x  ph  /\ 
E. y  e.  ran  ZZ>= A. k  e.  y  ps )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ph  /\  ps )
)
349, 12, 33syl2anbr 480 . 2  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps ) )
354, 34impbii 188 1  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ph  /\ 
ps )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3468    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   ran crn 4993    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-neg 9797  df-z 10854  df-uz 11072
This theorem is referenced by:  rexfiuz  13129  rexuz3  13130  rexanuz2  13131
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