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Theorem rexanre 13388
Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexanre  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    ph, j    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)

Proof of Theorem rexanre
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ph )
21imim2i 16 . . . . 5  |-  ( ( j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( j  <_  k  ->  ph ) )
32ralimi 2825 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
43reximi 2900 . . 3  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) )
5 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
65imim2i 16 . . . . 5  |-  ( ( j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( j  <_  k  ->  ps )
)
76ralimi 2825 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ps )
)
87reximi 2900 . . 3  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)
94, 8jca 534 . 2  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps ) ) )
10 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  x  ->  (
j  <_  k  <->  x  <_  k ) )
1110imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( j  =  x  ->  (
( j  <_  k  ->  ph )  <->  ( x  <_  k  ->  ph ) ) )
1211ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( j  =  x  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph ) ) )
1312cbvrexv 3063 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. x  e.  RR  A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph ) )
14 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  y  ->  (
j  <_  k  <->  y  <_  k ) )
1514imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
( j  <_  k  ->  ps )  <->  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
1615ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( j  =  y  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ps )  <->  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
1716cbvrexv 3063 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps )  <->  E. y  e.  RR  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps ) )
1813, 17anbi12i 701 . . . 4  |-  ( ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)  <->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  A  ( x  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. y  e.  RR  A. k  e.  A  (
y  <_  k  ->  ps ) ) )
19 reeanv 3003 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  <->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  A  ( x  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. y  e.  RR  A. k  e.  A  (
y  <_  k  ->  ps ) ) )
2018, 19bitr4i 255 . . 3  |-  ( ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)  <->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
21 ifcl 3957 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  e.  RR )
2221ancoms 454 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  e.  RR )
2322adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  if (
x  <_  y , 
y ,  x )  e.  RR )
24 r19.26 2962 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  (
( x  <_  k  ->  ph )  /\  (
y  <_  k  ->  ps ) )  <->  ( A. k  e.  A  (
x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
25 prth 573 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  <_  k  ->  ph )  /\  (
y  <_  k  ->  ps ) )  ->  (
( x  <_  k  /\  y  <_  k )  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
26 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  RR )
27 simplrr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  y  e.  RR )
28 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  A  C_  RR )
2928sselda 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR )
30 maxle 11485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x
)  <_  k  <->  ( x  <_  k  /\  y  <_ 
k ) ) )
3126, 27, 29, 30syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x
)  <_  k  <->  ( x  <_  k  /\  y  <_ 
k ) ) )
3231imbi1d 318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  ( (
x  <_  k  /\  y  <_  k )  -> 
( ph  /\  ps )
) ) )
3325, 32syl5ibr 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( x  <_ 
k  ->  ph )  /\  ( y  <_  k  ->  ps ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
3433ralimdva 2840 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  ( A. k  e.  A  (
( x  <_  k  ->  ph )  /\  (
y  <_  k  ->  ps ) )  ->  A. k  e.  A  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
3524, 34syl5bir 221 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  ( ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  ->  A. k  e.  A  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
36 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  if ( x  <_  y ,  y ,  x )  -> 
( j  <_  k  <->  if ( x  <_  y ,  y ,  x
)  <_  k )
)
3736imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( j  =  if ( x  <_  y ,  y ,  x )  -> 
( ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
3837ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( j  =  if ( x  <_  y ,  y ,  x )  -> 
( A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  A. k  e.  A  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
3938rspcev 3188 . . . . 5  |-  ( ( if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  A  ( if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
) )
4023, 35, 39syl6an 547 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  ( ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
4140rexlimdvva 2931 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
4220, 41syl5bi 220 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
439, 42impbid2 207 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   ifcif 3915   class class class wbr 4426   RRcr 9537    <_ cle 9675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680
This theorem is referenced by:  o1lo1  13579  rlimuni  13592  lo1add  13668  lo1mul  13669  rlimno1  13695
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