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Theorem rexanre 13142
Description: Combine two different upper real properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexanre  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    ph, j    ps, j
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( k)

Proof of Theorem rexanre
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ph )
21imim2i 14 . . . . 5  |-  ( ( j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( j  <_  k  ->  ph ) )
32ralimi 2857 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph ) )
43reximi 2932 . . 3  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph ) )
5 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
65imim2i 14 . . . . 5  |-  ( ( j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( j  <_  k  ->  ps )
)
76ralimi 2857 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ps )
)
87reximi 2932 . . 3  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)
94, 8jca 532 . 2  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps ) ) )
10 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  x  ->  (
j  <_  k  <->  x  <_  k ) )
1110imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( j  =  x  ->  (
( j  <_  k  ->  ph )  <->  ( x  <_  k  ->  ph ) ) )
1211ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( j  =  x  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  <->  A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph ) ) )
1312cbvrexv 3089 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ph )  <->  E. x  e.  RR  A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph ) )
14 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  y  ->  (
j  <_  k  <->  y  <_  k ) )
1514imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
( j  <_  k  ->  ps )  <->  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
1615ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( j  =  y  ->  ( A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ps )  <->  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
1716cbvrexv 3089 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps )  <->  E. y  e.  RR  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps ) )
1813, 17anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)  <->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  A  ( x  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. y  e.  RR  A. k  e.  A  (
y  <_  k  ->  ps ) ) )
19 reeanv 3029 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  <->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  A  ( x  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. y  e.  RR  A. k  e.  A  (
y  <_  k  ->  ps ) ) )
2018, 19bitr4i 252 . . 3  |-  ( ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)  <->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
21 ifcl 3981 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  e.  RR )
2221ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  e.  RR )
2322adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  if (
x  <_  y , 
y ,  x )  e.  RR )
24 r19.26 2989 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  (
( x  <_  k  ->  ph )  /\  (
y  <_  k  ->  ps ) )  <->  ( A. k  e.  A  (
x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
) )
25 prth 571 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  <_  k  ->  ph )  /\  (
y  <_  k  ->  ps ) )  ->  (
( x  <_  k  /\  y  <_  k )  ->  ( ph  /\  ps ) ) )
26 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  x  e.  RR )
27 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  y  e.  RR )
28 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  A  C_  RR )
2928sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR )
30 maxle 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x
)  <_  k  <->  ( x  <_  k  /\  y  <_ 
k ) ) )
3126, 27, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x
)  <_  k  <->  ( x  <_  k  /\  y  <_ 
k ) ) )
3231imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  ( (
x  <_  k  /\  y  <_  k )  -> 
( ph  /\  ps )
) ) )
3325, 32syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( x  <_ 
k  ->  ph )  /\  ( y  <_  k  ->  ps ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
3433ralimdva 2872 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  ( A. k  e.  A  (
( x  <_  k  ->  ph )  /\  (
y  <_  k  ->  ps ) )  ->  A. k  e.  A  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
3524, 34syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  ( ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  ->  A. k  e.  A  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
36 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  if ( x  <_  y ,  y ,  x )  -> 
( j  <_  k  <->  if ( x  <_  y ,  y ,  x
)  <_  k )
)
3736imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( j  =  if ( x  <_  y ,  y ,  x )  -> 
( ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
3837ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( j  =  if ( x  <_  y ,  y ,  x )  -> 
( A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  A. k  e.  A  ( if ( x  <_  y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) ) )
3938rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  A  ( if ( x  <_ 
y ,  y ,  x )  <_  k  ->  ( ph  /\  ps ) ) )  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
) )
4023, 35, 39syl6an 545 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)  ->  ( ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
4140rexlimdvva 2962 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  ( A. k  e.  A  ( x  <_  k  ->  ph )  /\  A. k  e.  A  ( y  <_  k  ->  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
4220, 41syl5bi 217 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_  k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ps )
)  ->  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
439, 42impbid2 204 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  (
ph  /\  ps )
)  <->  ( E. j  e.  RR  A. k  e.  A  ( j  <_ 
k  ->  ph )  /\  E. j  e.  RR  A. k  e.  A  (
j  <_  k  ->  ps ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   RRcr 9491    <_ cle 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634
This theorem is referenced by:  o1lo1  13323  rlimuni  13336  lo1add  13412  lo1mul  13413  rlimno1  13439
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