MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexadd Structured version   Unicode version

Theorem rexadd 11431
Description: The extended real addition operation when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexadd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e
B )  =  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem rexadd
StepHypRef Expression
1 rexr 9639 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9639 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xaddval 11422 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e B )  =  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo , 
( A  +  B
) ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e
B )  =  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) ) )
5 renepnf 9641 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/= +oo )
6 ifnefalse 3951 . . . . 5  |-  ( A  =/= +oo  ->  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo , 
( A  +  B
) ) ) ) )  =  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo , 
( A  +  B
) ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )  =  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )
8 renemnf 9642 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/= -oo )
9 ifnefalse 3951 . . . . 5  |-  ( A  =/= -oo  ->  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo , 
( A  +  B
) ) ) )  =  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo , 
( A  +  B
) ) ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) )  =  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) )
117, 10eqtrd 2508 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )  =  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) )
12 renepnf 9641 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  =/= +oo )
13 ifnefalse 3951 . . . . 5  |-  ( B  =/= +oo  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) )  =  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) )  =  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) )
15 renemnf 9642 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  =/= -oo )
16 ifnefalse 3951 . . . . 5  |-  ( B  =/= -oo  ->  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  B
) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  B ) )
1814, 17eqtrd 2508 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) )  =  ( A  +  B ) )
1911, 18sylan9eq 2528 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo , 
0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )  =  ( A  +  B
) )
204, 19eqtrd 2508 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e
B )  =  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ifcif 3939  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492    + caddc 9495   +oocpnf 9625   -oocmnf 9626   RR*cxr 9627   +ecxad 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-mulcl 9554  ax-i2m1 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-xadd 11319
This theorem is referenced by:  rexsub  11432  xaddnemnf  11433  xaddnepnf  11434  xnegid  11435  xaddcom  11437  xaddid1  11438  xnegdi  11440  xaddass  11441  xpncan  11443  xleadd1a  11445  xadddilem  11486  x2times  11491  hashunx  12422  isxmet2d  20593  ismet2  20599  mettri2  20607  prdsxmetlem  20634  bl2in  20666  xblss2ps  20667  xmeter  20699  methaus  20786  metustexhalfOLD  20829  metustexhalf  20830  metdcnlem  21104  metnrmlem3  21128  iscau3  21480  vdgrfival  24601  vdgrf  24602  vdgrfif  24603  vdgr0  24604  vdgr1d  24607  vdgr1b  24608  vdgr1a  24610  xlt2addrd  27274  xrsmulgzz  27356  xrge0slmod  27525  xrge0iifhom  27583  esumfsupre  27745  esumpfinvallem  27748  probun  28026  heicant  29654  cntotbnd  29923  heiborlem6  29943
  Copyright terms: Public domain W3C validator