MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexadd Structured version   Unicode version

Theorem rexadd 11202
Description: The extended real addition operation when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexadd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e
B )  =  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem rexadd
StepHypRef Expression
1 rexr 9429 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9429 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xaddval 11193 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e B )  =  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo , 
( A  +  B
) ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e
B )  =  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) ) )
5 renepnf 9431 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/= +oo )
6 ifnefalse 3801 . . . . 5  |-  ( A  =/= +oo  ->  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo , 
( A  +  B
) ) ) ) )  =  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo , 
( A  +  B
) ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )  =  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )
8 renemnf 9432 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =/= -oo )
9 ifnefalse 3801 . . . . 5  |-  ( A  =/= -oo  ->  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo , 
( A  +  B
) ) ) )  =  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo , 
( A  +  B
) ) ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) )  =  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) )
117, 10eqtrd 2475 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo ,  0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo ,  0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )  =  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) )
12 renepnf 9431 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  =/= +oo )
13 ifnefalse 3801 . . . . 5  |-  ( B  =/= +oo  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) )  =  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) )  =  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) )
15 renemnf 9432 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  =/= -oo )
16 ifnefalse 3801 . . . . 5  |-  ( B  =/= -oo  ->  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  B
) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  B ) )
1814, 17eqtrd 2475 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) )  =  ( A  +  B ) )
1911, 18sylan9eq 2495 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( A  = +oo ,  if ( B  = -oo , 
0 , +oo ) ,  if ( A  = -oo ,  if ( B  = +oo , 
0 , -oo ) ,  if ( B  = +oo , +oo ,  if ( B  = -oo , -oo ,  ( A  +  B ) ) ) ) )  =  ( A  +  B
) )
204, 19eqtrd 2475 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e
B )  =  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   ifcif 3791  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282    + caddc 9285   +oocpnf 9415   -oocmnf 9416   RR*cxr 9417   +ecxad 11087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-mulcl 9344  ax-i2m1 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-xadd 11090
This theorem is referenced by:  rexsub  11203  xaddnemnf  11204  xaddnepnf  11205  xnegid  11206  xaddcom  11208  xaddid1  11209  xnegdi  11211  xaddass  11212  xpncan  11214  xleadd1a  11216  xadddilem  11257  x2times  11262  hashunx  12149  isxmet2d  19902  ismet2  19908  mettri2  19916  prdsxmetlem  19943  bl2in  19975  xblss2ps  19976  xmeter  20008  methaus  20095  metustexhalfOLD  20138  metustexhalf  20139  metdcnlem  20413  metnrmlem3  20437  iscau3  20789  vdgrfival  23567  vdgrf  23568  vdgrfif  23569  vdgr0  23570  vdgr1d  23573  vdgr1b  23574  vdgr1a  23576  xlt2addrd  26051  xrsmulgzz  26139  xrge0slmod  26312  xrge0iifhom  26367  esumfsupre  26520  esumpfinvallem  26523  probun  26802  heicant  28426  cntotbnd  28695  heiborlem6  28715
  Copyright terms: Public domain W3C validator