MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revlen Structured version   Unicode version

Theorem revlen 12794
Description: The reverse of a word has the same length as the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revlen  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  W
) )  =  (
# `  W )
)

Proof of Theorem revlen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 12792 . . 3  |-  ( W  e. Word  A  ->  (reverse `  W )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) ) )
21fveq2d 5855 . 2  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  W
) )  =  (
# `  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  |->  ( W `  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  x ) ) ) ) )
3 wrdf 12605 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  A  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
5 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
6 lencl 12616 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN0 )
8 nn0z 10930 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
9 fzoval 11862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  W )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  W
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0 ... (
( # `  W )  -  1 ) ) )
115, 10eleqtrd 2494 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  x  e.  ( 0 ... ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
12 fznn0sub2 11838 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 ... ( ( # `  W
)  -  1 ) )  ->  ( (
( # `  W )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( # `  W )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
1413, 10eleqtrrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( # `  W )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
154, 14ffvelrnd 6012 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  x ) )  e.  A )
16 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  |->  ( W `  ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) )
1715, 16fmptd 6035 . . 3  |-  ( W  e. Word  A  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) ) : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
18 ffn 5716 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) ) : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) )  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
) )
19 hashfn 12493 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) )  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )
2017, 18, 193syl 18 . 2  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  |->  ( W `  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  x ) ) ) )  =  (
# `  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )
21 hashfzo0 12539 . . 3  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  W
) ) )  =  ( # `  W
) )
226, 21syl 17 . 2  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 ( 0..^ (
# `  W )
) )  =  (
# `  W )
)
232, 20, 223eqtrd 2449 1  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  W
) )  =  (
# `  W )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    |-> cmpt 4455    Fn wfn 5566   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   0cc0 9524   1c1 9525    - cmin 9843   NN0cn0 10838   ZZcz 10907   ...cfz 11728  ..^cfzo 11856   #chash 12454  Word cword 12585  reversecreverse 12591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-hash 12455  df-word 12593  df-reverse 12599
This theorem is referenced by:  rev0  12796  revs1  12797  revccat  12798  revrev  12799  revco  12858  psgnuni  16850
  Copyright terms: Public domain W3C validator