MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revlen Structured version   Unicode version

Theorem revlen 12519
Description: The reverse of a word has the same length as the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revlen  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  W
) )  =  (
# `  W )
)

Proof of Theorem revlen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 12517 . . 3  |-  ( W  e. Word  A  ->  (reverse `  W )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) ) )
21fveq2d 5802 . 2  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  W
) )  =  (
# `  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  |->  ( W `  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  x ) ) ) ) )
3 wrdf 12357 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  A  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
5 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
6 lencl 12366 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN0 )
8 nn0z 10779 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
9 fzoval 11670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  W )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  W
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0 ... (
( # `  W )  -  1 ) ) )
115, 10eleqtrd 2544 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  x  e.  ( 0 ... ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
12 fznn0sub2 11604 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 ... ( ( # `  W
)  -  1 ) )  ->  ( (
( # `  W )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( # `  W )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0 ... ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
1413, 10eleqtrrd 2545 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( ( # `  W )  -  1 )  -  x )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )
154, 14ffvelrnd 5952 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  (
( ( # `  W
)  -  1 )  -  x ) )  e.  A )
16 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  |->  ( W `  ( ( ( # `  W )  -  1 )  -  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) )
1715, 16fmptd 5975 . . 3  |-  ( W  e. Word  A  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) ) : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A )
18 ffn 5666 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) ) : ( 0..^ (
# `  W )
) --> A  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) )  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
) )
19 hashfn 12255 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) )  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  |->  ( W `
 ( ( (
# `  W )  -  1 )  -  x ) ) ) )  =  ( # `  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )
2017, 18, 193syl 20 . 2  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  |->  ( W `  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  -  x ) ) ) )  =  (
# `  ( 0..^ ( # `  W ) ) ) )
21 hashfzo0 12308 . . 3  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  (
0..^ ( # `  W
) ) )  =  ( # `  W
) )
226, 21syl 16 . 2  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 ( 0..^ (
# `  W )
) )  =  (
# `  W )
)
232, 20, 223eqtrd 2499 1  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( # `
 (reverse `  W
) )  =  (
# `  W )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    |-> cmpt 4457    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   0cc0 9392   1c1 9393    - cmin 9705   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ...cfz 11553  ..^cfzo 11664   #chash 12219  Word cword 12338  reversecreverse 12344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-hash 12220  df-word 12346  df-reverse 12352
This theorem is referenced by:  rev0  12521  revs1  12522  revccat  12523  revrev  12524  revco  12579  psgnuni  16123
  Copyright terms: Public domain W3C validator