Theorem reuuni2 3811

Description: U.{x e. A | ph} is an explicit representation of "the unique element in A such that ph."

Hypothesis

Ref	Expression
reuuni2.1	|- (x = B -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
reuuni2	|- ((B e. A /\ E!x e. A ph) -> (ps <-> U.{x e. A | ph} = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   ps,x

Proof of Theorem reuuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. 2 |- (y e. B -> A.x y e. B)
2		ax-17 1317	. . 3 |- (ps -> A.xps)
3	2	a1i 8	. 2 |- (B e. A -> (ps -> A.xps))
4		reuuni2.1	. 2 |- (x = B -> (ph <-> ps))
5	1, 3, 4	reuuni2f 3810	1 |- ((B e. A /\ E!x e. A ph) -> (ps <-> U.{x e. A | ph} = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E!wreu 2107  {crab 2108  U.cuni 3177

This theorem is referenced by:  reuuni3 3812  rabsnt 3821  f1ocnvfv3 4859  supub 5670  suplub 5671  suppr 5680  supsnALT 5682  hartog 5693  lbinfm 7257  supxr 7290  flval2 7478  flbi 7480  uzinfmi 7631  isumclimtfi 8456  grpidinv2 9344  grpinv 9353  spwpr4 10006  spwpr4OLD 10007  spwpr4aOLD 10008  cmpidelt 10376  pjeq2 10874  pjpj0i 10888  adjvalval 11498  cnlnadjlem5 11641  cnvbraval 11681  cdj3lem2 12007  divalgmod 13709  invtrgrp 14979  hartogOLD 15384  euuni2 15663  exidresid 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-uni 3178

Copyright terms: Public domain