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Theorem reusv7OLD 4668
Description: TODO-NM: What shall be done with this OLD theorem? Two ways to express single-valuedness of a class expression  C ( y ). Note that  U. A  = 
|^| A means  A is a singleton (uniintsn 4326). (Contributed by NM, 14-Dec-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reusv7.1  |-  ( y  e.  B  ->  C  e.  A )
Assertion
Ref Expression
reusv7OLD  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv7OLD
StepHypRef Expression
1 raleq 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  <->  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
21reubidv 3042 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
3 df-reu 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
4 uniintsn 4326 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E. x  A  =  { x } )
5 eusn 4108 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E. x  A  =  {
x } )
6 ral0 3937 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. y  e.  (/)  x  =  C
76biantru 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
87eubii 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
94, 5, 83bitr2i 273 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E! x
( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
103, 9bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A )
112, 10syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A ) )
1211necon3bbid 2704 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =/=  |^| A ) )
1312biimprd 223 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
14 reurex 3074 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )
15 rexn0 3935 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1615rexlimivw 2946 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1714, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  ->  B  =/=  (/) )
1817necon2bi 2694 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C )
1913, 18jctild 543 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
) )
20 pm5.21 858 . . . 4  |-  ( ( -.  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  /\  -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
2119, 20syl6 33 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
22 r19.28zv 3927 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
2322eubidv 2305 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
24 reusv2lem4 4660 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  (
y  =  y  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C )
)
25 equid 1792 . . . . . . . . 9  |-  y  =  y
2625biantrur 506 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  <->  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
2726rexbii 2959 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. y  e.  B  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
2827reubii 3044 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( y  =  y  /\  x  =  C ) )
29 reusv7.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  B  ->  C  e.  A )
3029biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
31 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
3231pm5.32ri 638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C )
)
3330, 32syl6rbbr 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  x  =  C
) )
34 biimt 335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3633, 35bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  ( C  e.  A  ->  x  =  C ) ) )
3725biantru 505 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  <->  ( C  e.  A  /\  y  =  y ) )
3837imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  A  ->  x  =  C )  <->  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y
)  ->  x  =  C ) )
3936, 38syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C )
) )
4039ralbiia 2887 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y
)  ->  x  =  C ) )
4140eubii 2307 . . . . . 6  |-  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\  y  =  y )  ->  x  =  C ) )
4224, 28, 413bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) )
43 df-reu 2814 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) )
4423, 42, 433bitr4g 288 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
4544a1d 25 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
4621, 45pm2.61ine 2770 . 2  |-  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
4746, 44jaoi 379 1  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   E!weu 2283    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   (/)c0 3793   {csn 4032   U.cuni 4251   |^|cint 4288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586  ax-pow 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-sn 4033  df-pr 4035  df-uni 4252  df-int 4289
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