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Theorem reusv6OLD 4501
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  C ( y ). The converse does not hold. Note that  U. A  =  |^| A means  A is a singleton (uniintsn 4163). (Contributed by NM, 30-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
reusv6OLD  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv6OLD
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2915 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  <->  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
21reubidv 2903 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
3 df-reu 2720 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
4 uniintsn 4163 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E. x  A  =  { x } )
5 eusn 3949 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E. x  A  =  {
x } )
6 ral0 3782 . . . . . . . . . 10  |-  A. y  e.  (/)  x  =  C
76biantru 505 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
87eubii 2278 . . . . . . . 8  |-  ( E! x  x  e.  A  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C ) )
94, 5, 83bitr2i 273 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  |^| A  <->  E! x
( x  e.  A  /\  A. y  e.  (/)  x  =  C )
)
103, 9bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  (/)  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A )
112, 10syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =  |^| A ) )
1211necon3bbid 2640 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  U. A  =/=  |^| A ) )
13 pm2.21 108 . . . 4  |-  ( -.  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) )
1412, 13syl6bir 229 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) ) )
15 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  B  =/=  (/)
16 nfrab1 2899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }
1716nfeq1 2586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }
1815, 17nfan 1861 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )
19 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  B  =/=  (/)
20 nfra1 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y A. y  e.  B  x  =  C
21 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y A
2220, 21nfrab 2900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }
2322nfeq1 2586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }
24 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y  x  e.  A
2519, 23, 24nf3an 1863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )
26 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  x  e.  { z }
27 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
2827snid 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
{ z }
29 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  ->  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )
3028, 29syl5eleqr 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C } )
31 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  C  <->  z  =  C ) )
3231ralbidv 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  <->  A. y  e.  B  z  =  C ) )
3332elrab 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  <->  ( z  e.  A  /\  A. y  e.  B  z  =  C ) )
3433simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  ->  A. y  e.  B  z  =  C )
3530, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  B  z  =  C )
3635r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  B
)  ->  z  =  C )
3736eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  =  z  <->  x  =  C
) )
3837biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  =  C  ->  x  =  z ) )
39 elsn 3889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { z }  <-> 
x  =  z )
4038, 39syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  =  C  ->  x  e. 
{ z } ) )
4140ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  =  C  ->  x  e.  {
z } ) ) )
4225, 26, 41rexlimd 2836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  x  e.  {
z } ) )
43423expia 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  x  e. 
{ z } ) ) )
4418, 43ralrimi 2795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  x  e.  { z } ) )
45 rabss 3427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  C_ 
{ z }  <->  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  x  =  C  ->  x  e. 
{ z } ) )
4644, 45sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  C_  { z } )
47 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  {
z } )
4846, 47sseqtr4d 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  C_  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C } )
49 r19.2z 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  A. y  e.  B  x  =  C )  ->  E. y  e.  B  x  =  C )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  ->  E. y  e.  B  x  =  C ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  x  =  C  ->  E. y  e.  B  x  =  C ) )
5251ss2rabdv 3431 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =/=  (/)  ->  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  C_  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C } )
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  C_  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C } )
5448, 53eqssd 3371 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  =  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }
)
5554, 47eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } )  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  =  {
z } )
5655ex 434 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  ->  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  =  { z } ) )
5756eximdv 1676 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E. z { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  { z }  ->  E. z { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  =  {
z } ) )
58 reusn 3946 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E. z { x  e.  A  |  A. y  e.  B  x  =  C }  =  {
z } )
59 reusn 3946 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. z { x  e.  A  |  E. y  e.  B  x  =  C }  =  {
z } )
6057, 58, 593imtr4g 270 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) )
6160a1d 25 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) ) )
6214, 61pm2.61ine 2685 . 2  |-  ( U. A  =/=  |^| A  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) )
6362, 60jaoi 379 1  |-  ( ( U. A  =/=  |^| A  \/  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  ->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E!weu 2253    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715   {crab 2717    C_ wss 3326   (/)c0 3635   {csn 3875   U.cuni 4089   |^|cint 4126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-sn 3876  df-pr 3878  df-uni 4090  df-int 4127
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