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Theorem reusv3 4624
Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression  C ( y ). See reusv1 4616 for the connection to uniqueness. (Contributed by NM, 27-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
reusv3.1  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
reusv3.2  |-  ( y  =  z  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
reusv3  |-  ( E. y  e.  B  (
ph  /\  C  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, C, z    x, D, y    ph, x, z    ps, x, y    x, A, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( z)    C( y)    D( z)

Proof of Theorem reusv3
StepHypRef Expression
1 reusv3.1 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2 reusv3.2 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  C  =  D )
32eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( C  e.  A  <->  D  e.  A ) )
41, 3anbi12d 722 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  /\  C  e.  A )  <->  ( ps  /\  D  e.  A ) ) )
54cbvrexv 3031 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  (
ph  /\  C  e.  A )  <->  E. z  e.  B  ( ps  /\  D  e.  A ) )
6 nfra2 2786 . . . . 5  |-  F/ z A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )
7 nfv 1771 . . . . 5  |-  F/ z E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )
86, 7nfim 2013 . . . 4  |-  F/ z ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\ 
ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) )
9 risset 2926 . . . . . 6  |-  ( D  e.  A  <->  E. x  e.  A  x  =  D )
10 ralcom 2962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  A. z  e.  B  A. y  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D ) )
11 impexp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  ( ph  ->  ( ps  ->  C  =  D ) ) )
12 bi2.04 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  ->  ( ps  ->  C  =  D ) )  <-> 
( ps  ->  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
1311, 12bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  ( ps  ->  (
ph  ->  C  =  D ) ) )
1413ralbii 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  A. y  e.  B  ( ps  ->  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
15 r19.21v 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  B  ( ps  ->  ( ph  ->  C  =  D ) )  <-> 
( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
1614, 15bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <-> 
( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
1716ralbii 2830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  B  A. y  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  A. z  e.  B  ( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
1810, 17bitri 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  A. z  e.  B  ( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
19 rsp 2765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  B  ( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) ) )
2018, 19sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  ( z  e.  B  ->  ( ps  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) ) )
2120com3l 84 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  B  ->  ( ps  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) ) )
2221imp31 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  ps )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D ) )  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) )
23 eqeq1 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
x  =  C  <->  D  =  C ) )
24 eqcom 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  =  C  <->  C  =  D )
2523, 24syl6bb 269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
x  =  C  <->  C  =  D ) )
2625imbi2d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  D  ->  (
( ph  ->  x  =  C )  <->  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
2726ralbidv 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  D  ->  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( ph  ->  C  =  D ) ) )
2822, 27syl5ibrcom 230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  ps )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D ) )  ->  ( x  =  D  ->  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
2928reximdv 2872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  B  /\  ps )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D ) )  ->  ( E. x  e.  A  x  =  D  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
3029ex 440 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  B  /\  ps )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  ( E. x  e.  A  x  =  D  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) ) )
3130com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  B  /\  ps )  ->  ( E. x  e.  A  x  =  D  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) ) )
329, 31syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  B  /\  ps )  ->  ( D  e.  A  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) ) )
3332expimpd 612 . . . 4  |-  ( z  e.  B  ->  (
( ps  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) ) )
348, 33rexlimi 2880 . . 3  |-  ( E. z  e.  B  ( ps  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
355, 34sylbi 200 . 2  |-  ( E. y  e.  B  (
ph  /\  C  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
361, 2reusv3i 4623 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )
)
3735, 36impbid1 208 1  |-  ( E. y  e.  B  (
ph  /\  C  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( ph  /\  ps )  ->  C  =  D )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  x  =  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-v 3058  df-dif 3418  df-nul 3743
This theorem is referenced by:  cdleme25b  33965  cdleme29b  33986  cdlemk28-3  34519  dihlsscpre  34846  mapdh9a  35402  mapdh9aOLDN  35403
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