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Theorem reusv2lem5 4629
Description: Lemma for reusv2 4630. (Contributed by NM, 4-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem5  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv2lem5
StepHypRef Expression
1 tru 1441 . . . . . . . . 9  |- T.
2 biimt 336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  ( x  =  C  <->  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) ) )
31, 2mpan2 675 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) ) )
4 ibar 506 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
53, 4bitr3d 258 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
6 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
76pm5.32ri 642 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C )
)
85, 7syl6bbr 266 . . . . . 6  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
98ralimi 2815 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( (
( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
10 ralbi 2956 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  (
( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) )  -> 
( A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
) ) )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  ( A. y  e.  B  (
( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
1211eubidv 2289 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
13 r19.28zv 3894 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
1413eubidv 2289 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
1512, 14sylan9bb 704 . 2  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
161biantrur 508 . . . . 5  |-  ( x  =  C  <->  ( T.  /\  x  =  C
) )
1716rexbii 2924 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. y  e.  B  ( T.  /\  x  =  C
) )
1817reubii 3012 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( T.  /\  x  =  C ) )
19 reusv2lem4 4628 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( T.  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) )
2018, 19bitri 252 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) )
21 df-reu 2778 . 2  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) )
2215, 20, 213bitr4g 291 1  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872   E!weu 2269    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   E!wreu 2773   (/)c0 3761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-nul 4555  ax-pow 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-nul 3762
This theorem is referenced by:  reusv2  4630
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