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Theorem reusv2lem5 4647
Description: Lemma for reusv2 4648. (Contributed by NM, 4-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem5  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv2lem5
StepHypRef Expression
1 tru 1378 . . . . . . . . 9  |- T.
2 biimt 335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  ( x  =  C  <->  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) ) )
31, 2mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) ) )
4 ibar 504 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
53, 4bitr3d 255 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
6 eleq1 2534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
76pm5.32ri 638 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C )
)
85, 7syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
98ralimi 2852 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( (
( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
10 ralbi 2988 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  (
( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) )  -> 
( A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
) ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  ( A. y  e.  B  (
( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
1211eubidv 2293 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
13 r19.28zv 3918 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
1413eubidv 2293 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
1512, 14sylan9bb 699 . 2  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
161biantrur 506 . . . . 5  |-  ( x  =  C  <->  ( T.  /\  x  =  C
) )
1716rexbii 2960 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. y  e.  B  ( T.  /\  x  =  C
) )
1817reubii 3043 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( T.  /\  x  =  C ) )
19 reusv2lem4 4646 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( T.  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) )
2018, 19bitri 249 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) )
21 df-reu 2816 . 2  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) )
2215, 20, 213bitr4g 288 1  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762   E!weu 2270    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   E!wreu 2811   (/)c0 3780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-nul 4571  ax-pow 4620
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-nul 3781
This theorem is referenced by:  reusv2  4648
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