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Theorem reusv2lem5 4598
Description: Lemma for reusv2 4599. (Contributed by NM, 4-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
reusv2lem5  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem reusv2lem5
StepHypRef Expression
1 tru 1409 . . . . . . . . 9  |- T.
2 biimt 333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  ( x  =  C  <->  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) ) )
31, 2mpan2 669 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) ) )
4 ibar 502 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  (
x  =  C  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
53, 4bitr3d 255 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
6 eleq1 2474 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
76pm5.32ri 636 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( C  e.  A  /\  x  =  C )
)
85, 7syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
98ralimi 2796 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( (
( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
10 ralbi 2937 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  (
( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) )  -> 
( A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
) ) )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  ( A. y  e.  B  (
( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
1211eubidv 2260 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  A  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C ) ) )
13 r19.28zv 3867 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
x  e.  A  /\  x  =  C )  <->  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
1413eubidv 2260 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  x  =  C
)  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
1512, 14sylan9bb 698 . 2  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C )  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) ) )
161biantrur 504 . . . . 5  |-  ( x  =  C  <->  ( T.  /\  x  =  C
) )
1716rexbii 2905 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  x  =  C  <->  E. y  e.  B  ( T.  /\  x  =  C
) )
1817reubii 2993 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( T.  /\  x  =  C ) )
19 reusv2lem4 4597 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ( T.  /\  x  =  C )  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) )
2018, 19bitri 249 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x A. y  e.  B  ( ( C  e.  A  /\ T.  )  ->  x  =  C ) )
21 df-reu 2760 . 2  |-  ( E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x ( x  e.  A  /\  A. y  e.  B  x  =  C ) )
2215, 20, 213bitr4g 288 1  |-  ( ( A. y  e.  B  C  e.  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  x  =  C  <->  E! x  e.  A  A. y  e.  B  x  =  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   T. wtru 1406    e. wcel 1842   E!weu 2238    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   E!wreu 2755   (/)c0 3737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-nul 4524  ax-pow 4571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-nul 3738
This theorem is referenced by:  reusv2  4599
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